Номер 204, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

204. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону: $U(t) = A\cos(Bt)$, где $A = 50 \text{ В}$, $B = 1.0 \cdot 10^5 \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите индуктивность катушки, если максимальный заряд конденсатора $q_0 = 5.0 \text{ мкКл}$.

Дано:

$U(t) = A \cos(Bt)$

$A = 50$ В

$B = 1.0 \cdot 10^5 \pi$ рад/с

$q_0 = 5.0$ мкКл

Перевод в систему СИ:
$q_0 = 5.0 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Напряжение на конденсаторе в идеальном колебательном контуре изменяется по гармоническому закону: $U(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_{max}$ - максимальное (амплитудное) значение напряжения, $\omega$ - циклическая частота колебаний, $t$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

По условию задачи, закон изменения напряжения имеет вид: $U(t) = A \cos(Bt)$. Сравнивая это выражение с общей формулой, мы можем определить амплитуду напряжения и циклическую частоту:

Амплитуда напряжения: $U_{max} = A = 50$ В.

Циклическая частота: $\omega = B = 1.0 \cdot 10^5 \pi$ рад/с.

Максимальный заряд на конденсаторе $q_{max}$ (в условии обозначен как $q_0$), его электроёмкость $C$ и максимальное напряжение на нём $U_{max}$ связаны соотношением:

$q_{max} = C \cdot U_{max}$

Отсюда можно выразить электроёмкость конденсатора:

$C = \frac{q_{max}}{U_{max}}$

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – ёмкость конденсатора.

Чтобы найти индуктивность $L$, возведём обе части формулы Томсона в квадрат:

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$

Отсюда выразим индуктивность $L$:

$L = \frac{1}{\omega^2 C}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для ёмкости $C = \frac{q_{max}}{U_{max}}$:

$L = \frac{1}{\omega^2 \left(\frac{q_{max}}{U_{max}}\right)} = \frac{U_{max}}{\omega^2 q_{max}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Максимальный заряд $q_{max}$ равен $q_0$.

$L = \frac{50 \text{ В}}{(1.0 \cdot 10^5 \pi \text{ рад/с})^2 \cdot 5.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{50}{1.0 \cdot 10^{10} \pi^2 \cdot 5.0 \cdot 10^{-6}} \text{ Гн}$

$L = \frac{50}{5.0 \cdot 10^4 \pi^2} = \frac{10}{10^4 \pi^2} = \frac{1}{1000 \pi^2} \text{ Гн}$

Приближенно считая $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$L \approx \frac{1}{1000 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{9870} \approx 0.0001013 \text{ Гн}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$L \approx 1.0 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} = 0.1 \text{ мГн}$

Ответ: $1.0 \cdot 10^{-4}$ Гн.