Номер 200, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

200. Заряженный конденсатор емкостью $C = 2,0 \text{ мкФ}$ подключили к катушке индуктивностью $L = 80,0 \text{ мГн}$. Через какой минимальный промежуток времени после подключения:

а) энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки;

б) энергия магнитного поля катушки станет в три раза больше энергии электрического поля конденсатора?

Дано:

$C = 2,0$ мкФ $= 2,0 \cdot 10^{-6}$ Ф

$L = 80,0$ мГн $= 80,0 \cdot 10^{-3}$ Г $= 8,00 \cdot 10^{-2}$ Г

Найти:

$t_a$ — минимальный промежуток времени, когда энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки;

$t_b$ — минимальный промежуток времени, когда энергия магнитного поля катушки станет в три раза больше энергии электрического поля конденсатора.

Решение:

Заряженный конденсатор, подключенный к катушке, образует колебательный контур (LC-контур), в котором происходят свободные электромагнитные колебания. Полная энергия контура сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии электрического поля конденсатора ($W_E$) и энергии магнитного поля катушки ($W_M$):

$W_{полн} = W_E + W_M = \text{const}$

Поскольку в начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, вся энергия сосредоточена в нем, и $W_{полн} = W_{E,max}$.

Энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки изменяются со временем по законам:

$W_E(t) = W_{E,max} \cos^2(\omega t)$

$W_M(t) = W_{E,max} \sin^2(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний, а $t$ — время.

Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Вычислим период для заданных параметров:

$T = 2\pi\sqrt{8,00 \cdot 10^{-2} \text{ Гн} \cdot 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-8} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 4,0 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 8,0\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}$

а) энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки

Согласно условию, $W_E(t) = W_M(t)$. Подставим выражения для энергий:

$W_{E,max} \cos^2(\omega t) = W_{E,max} \sin^2(\omega t)$

$\cos^2(\omega t) = \sin^2(\omega t)$

Разделив обе части на $\cos^2(\omega t)$ (при $\cos(\omega t) \neq 0$), получим:

$\tan^2(\omega t) = 1$

Минимальный положительный угол, для которого это равенство выполняется, это $\omega t = \pi/4$.

$\frac{2\pi}{T} t_a = \frac{\pi}{4}$

Отсюда находим минимальное время $t_a$:

$t_a = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$

Подставим вычисленное значение периода:

$t_a = \frac{8,0\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}}{8} = \pi \cdot 10^{-4} \text{ с} \approx 3,14 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр (как у емкости), получаем:

Ответ: $t_a \approx 3,1 \cdot 10^{-4}$ с.

б) энергия магнитного поля катушки станет в три раза больше энергии электрического поля конденсатора

Согласно условию, $W_M(t) = 3W_E(t)$. Подставим выражения для энергий:

$W_{E,max} \sin^2(\omega t) = 3 \cdot W_{E,max} \cos^2(\omega t)$

$\sin^2(\omega t) = 3 \cos^2(\omega t)$

$\tan^2(\omega t) = 3$

Минимальный положительный угол, для которого это равенство выполняется, это $\omega t = \pi/3$.

$\frac{2\pi}{T} t_b = \frac{\pi}{3}$

Отсюда находим минимальное время $t_b$:

$t_b = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{6}$

Подставим вычисленное значение периода:

$t_b = \frac{8,0\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}}{6} = \frac{4\pi}{3} \cdot 10^{-4} \text{ с} \approx 4,19 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $t_b \approx 4,2 \cdot 10^{-4}$ с.