Номер 193, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

193. В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 44$ мГн и конденсатора емкостью $C = 30$ мкФ, происходят свободные электромагнитные колебания. В некоторый момент времени сила тока в катушке $I_1 = 2,0$ А, напряжение на конденсаторе $U_1 = 100$ В. Определите заряд конденсатора в момент времени, когда сила тока в катушке $I_2 = 1,0$ А.

Дано:
Индуктивность катушки $L = 44 \text{ мГн}$
Емкость конденсатора $C = 30 \text{ мкФ}$
Сила тока в момент времени $t_1$: $I_1 = 2,0 \text{ А}$
Напряжение на конденсаторе в момент времени $t_1$: $U_1 = 100 \text{ В}$
Сила тока в момент времени $t_2$: $I_2 = 1,0 \text{ А}$

Перевод в систему СИ:
$L = 44 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$
$C = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:
Заряд конденсатора в момент времени $t_2$: $q_2$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Полная энергия $W$ в любой момент времени является суммой энергии магнитного поля катушки $W_L$ и энергии электрического поля конденсатора $W_C$.

$W = W_L + W_C = \frac{LI^2}{2} + \frac{q^2}{2C}$

Энергия конденсатора также может быть выражена через напряжение на нем: $W_C = \frac{CU^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура в момент времени $t_1$ равна полной энергии в момент времени $t_2$.

$W_1 = W_2$

В момент времени $t_1$ полная энергия равна:

$W_1 = \frac{LI_1^2}{2} + \frac{CU_1^2}{2}$

В момент времени $t_2$ полная энергия равна:

$W_2 = \frac{LI_2^2}{2} + \frac{q_2^2}{2C}$

Приравняем выражения для энергии:

$\frac{LI_1^2}{2} + \frac{CU_1^2}{2} = \frac{LI_2^2}{2} + \frac{q_2^2}{2C}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$LI_1^2 + CU_1^2 = LI_2^2 + \frac{q_2^2}{C}$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $q_2$:

$\frac{q_2^2}{C} = LI_1^2 - LI_2^2 + CU_1^2$

$q_2^2 = C(L(I_1^2 - I_2^2) + CU_1^2) = LC(I_1^2 - I_2^2) + C^2U_1^2$

$q_2 = \sqrt{LC(I_1^2 - I_2^2) + C^2U_1^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$q_2 = \sqrt{44 \cdot 10^{-3} \cdot 30 \cdot 10^{-6} \cdot (2,0^2 - 1,0^2) + (30 \cdot 10^{-6})^2 \cdot 100^2}$

$q_2 = \sqrt{1320 \cdot 10^{-9} \cdot (4 - 1) + 900 \cdot 10^{-12} \cdot 10^4}$

$q_2 = \sqrt{1320 \cdot 10^{-9} \cdot 3 + 9 \cdot 10^{-6}}$

$q_2 = \sqrt{3960 \cdot 10^{-9} + 9 \cdot 10^{-6}}$

$q_2 = \sqrt{3,96 \cdot 10^{-6} + 9 \cdot 10^{-6}}$

$q_2 = \sqrt{12,96 \cdot 10^{-6}} = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Ответ: $3,6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$.