Номер 194, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

194. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Максимальный заряд конденсатора $q_0 = 20 \text{ мкКл}$. Амплитуда силы тока в контуре $I_0 = 0,80 \text{ А}$. Определите период электромагнитных колебаний в контуре.

Дано:

Максимальный заряд конденсатора, $q_0 = 20$ мкКл

Амплитуда силы тока, $I_0 = 0,80$ А

Перевод в систему СИ:

$q_0 = 20 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Период электромагнитных колебаний, $T$

Решение:

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания заряда и силы тока. Заряд на конденсаторе изменяется по закону $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$, где $q_0$ — амплитуда (максимальное значение) заряда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сила тока в контуре $i(t)$ является производной заряда по времени $q(t)$:

$i(t) = q'(t) = (q_0 \cos(\omega t))' = -q_0 \omega \sin(\omega t)$

Амплитуда силы тока $I_0$ — это максимальное значение $i(t)$, которое достигается, когда $\sin(\omega t) = \pm 1$. Таким образом, связь между амплитудой силы тока и амплитудой заряда выражается формулой:

$I_0 = q_0 \omega$

Из этого соотношения можно выразить циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{I_0}{q_0}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой следующей формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для периода $T$:

$T = \frac{2\pi}{I_0 / q_0} = \frac{2\pi q_0}{I_0}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу для расчета периода:

$T = \frac{2\pi \cdot 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{0,80 \text{ А}} = \frac{40\pi \cdot 10^{-6}}{0,8} \text{ с} = 50\pi \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$T \approx 50 \cdot 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 157 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 1,57 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Этот результат можно также выразить как 157 мкс.

Ответ: период электромагнитных колебаний в контуре равен $T = 50\pi \cdot 10^{-6} \text{ с} \approx 1,57 \cdot 10^{-4} \text{ с}$.