Номер 191, страница 60 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

191. В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 0.40 \text{ Гн}$ и конденсатора емкостью $C = 20 \text{ мкФ}$, происходят свободные электромагнитные колебания. Амплитуда силы тока в контуре $I_0 = 0.10 \text{ А}$. Определите напряжение на конденсаторе в момент времени, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки.

Дано:

$L = 0,40$ Гн

$C = 20$ мкФ

$I_0 = 0,10$ А

$W_E = W_M$

$C = 20 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$U$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_E$ и энергии магнитного поля катушки $W_M$.

$W_{полн} = W_E + W_M$

Полная энергия контура также равна максимальной энергии магнитного поля катушки, которая достигается при амплитудном значении силы тока $I_0$.

$W_{полн} = W_{M_{max}} = \frac{L I_0^2}{2}$

По условию задачи, в искомый момент времени энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки:

$W_E = W_M$

Тогда полная энергия в этот момент времени равна:

$W_{полн} = W_E + W_M = W_E + W_E = 2W_E$

Энергия электрического поля конденсатора выражается через напряжение на нем $U$ и емкость $C$ по формуле:

$W_E = \frac{C U^2}{2}$

Приравняем выражения для полной энергии:

$2W_E = \frac{L I_0^2}{2}$

Подставим формулу для $W_E$:

$2 \cdot \frac{C U^2}{2} = \frac{L I_0^2}{2}$

$C U^2 = \frac{L I_0^2}{2}$

Отсюда выразим напряжение $U$:

$U^2 = \frac{L I_0^2}{2C}$

$U = \sqrt{\frac{L I_0^2}{2C}} = I_0 \sqrt{\frac{L}{2C}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U = 0,10 \cdot \sqrt{\frac{0,40}{2 \cdot 20 \cdot 10^{-6}}} = 0,10 \cdot \sqrt{\frac{0,40}{40 \cdot 10^{-6}}} = 0,10 \cdot \sqrt{\frac{1}{100 \cdot 10^{-6}}} = 0,10 \cdot \sqrt{10^4} = 0,10 \cdot 100 = 10$ В.

Ответ: напряжение на конденсаторе равно $10$ В.