Номер 189, страница 60 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

189. В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 10 \text{ мГн}$ и конденсатора емкостью $C = 1,0 \text{ мкФ}$, происходят свободные электромагнитные колебания. Определите амплитуду силы тока в контуре, если в некоторый момент времени напряжение на конденсаторе $U = 30 \text{ В}$, а сила тока в контуре в этот момент времени $I = 0,40 \text{ А}.

Дано:

$L = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн}$
$C = 1,0 \text{ мкФ} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$U = 30 \text{ В}$
$I = 0,40 \text{ А}$

Найти:

$I_{max}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она складывается из энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

$W = W_C + W_L = \text{const}$

Энергия конденсатора в некоторый момент времени определяется выражением:

$W_C = \frac{C U^2}{2}$

Энергия катушки индуктивности в этот же момент времени:

$W_L = \frac{L I^2}{2}$

Полная энергия контура в данный момент времени равна:

$W = \frac{C U^2}{2} + \frac{L I^2}{2}$

Когда сила тока в контуре достигает своего амплитудного (максимального) значения $I_{max}$, напряжение на конденсаторе становится равным нулю. В этот момент вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки:

$W = W_{L, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура в любой момент времени равна ее максимальному значению. Приравняем два выражения для полной энергии:

$\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C U^2}{2} + \frac{L I^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$L I_{max}^2 = C U^2 + L I^2$

Выразим амплитуду силы тока $I_{max}$:

$I_{max}^2 = \frac{C U^2}{L} + I^2$

$I_{max} = \sqrt{\frac{C U^2}{L} + I^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$I_{max} = \sqrt{\frac{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (30 \text{ В})^2}{10^{-2} \text{ Гн}} + (0,40 \text{ А})^2} = \sqrt{\frac{10^{-6} \cdot 900}{10^{-2}} + 0,16} \text{ А} = \sqrt{9 \cdot 10^{-4} \cdot 10^2 + 0,16} \text{ А} = \sqrt{9 \cdot 10^{-2} + 0,16} \text{ А} = \sqrt{0,09 + 0,16} \text{ А} = \sqrt{0,25} \text{ А} = 0,5 \text{ А}$

Ответ: амплитуда силы тока в контуре равна 0,5 А.