Номер 182, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

182. Определите период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $L = 30 \text{ мкГн}$ и плоского конденсатора с площадью пластин $S = 4,5 \text{ см}^2$, расположенных на расстоянии $d = 0,32 \text{ мм}$ друг от друга. Конденсатор заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 4,0$.

Дано

$L = 30 \text{ мкГн} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$S = 4,5 \text{ см}^2 = 4,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$d = 0,32 \text{ мм} = 0,32 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\epsilon = 4,0$

Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$.

Найти:

$T$

Решение

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – электроёмкость конденсатора.

В задаче не дана ёмкость конденсатора, но её можно вычислить, так как известны параметры плоского конденсатора. Электроёмкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, вычисляется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь пластин, а $d$ – расстояние между ними.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти ёмкость:

$C = \frac{4,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 4,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}{0,32 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{159,3 \cdot 10^{-16}}{0,32 \cdot 10^{-3}} \text{ Ф} \approx 497,8 \cdot 10^{-13} \text{ Ф} = 4,978 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Теперь, когда известны и индуктивность $L$, и ёмкость $C$, мы можем рассчитать период колебаний $T$ по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{L C} = 2\pi\sqrt{30 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 4,978 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}$

Выполним вычисления под корнем:

$L C = 30 \cdot 10^{-6} \cdot 4,978 \cdot 10^{-11} = 149,34 \cdot 10^{-17} = 14,934 \cdot 10^{-16}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{14,934 \cdot 10^{-16}} \text{ с} = 2\pi \cdot \sqrt{14,934} \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Используя значение $\pi \approx 3,14$ и $\sqrt{14,934} \approx 3,86$, получаем:

$T \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 3,86 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 24,28 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 2,43 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Этот результат можно также выразить в микросекундах: $T \approx 0,243$ мкс.

Ответ: $T \approx 2,43 \cdot 10^{-7}$ с.