Номер 181, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

181. Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре $T_1 = 5,0 \text{ мкс}$. Определите, каким будет период колебаний, если расстояние между обкладками плоского воздушного конденсатора, включенного в контур, увеличить в $n = 4$ раза.

Дано:

$T_1 = 5,0$ мкс = $5,0 \cdot 10^{-6}$ с

$n = 4$

Найти:

$T_2$

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – ёмкость конденсатора.

Изначально период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$

Ёмкость плоского воздушного конденсатора вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками (для воздуха $\varepsilon \approx 1$), $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь обкладок, $d$ – расстояние между ними.

Начальная ёмкость конденсатора была:

$C_1 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_1}$

По условию, расстояние между обкладками увеличили в $n=4$ раза. Новое расстояние $d_2$ связано с начальным $d_1$ соотношением:

$d_2 = n \cdot d_1 = 4d_1$

Тогда новая ёмкость конденсатора $C_2$ будет равна:

$C_2 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{4d_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d_1} = \frac{C_1}{4}$

Таким образом, ёмкость конденсатора уменьшилась в 4 раза.

Новый период колебаний $T_2$ при неизменной индуктивности $L$ и новой ёмкости $C_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2} = 2\pi\sqrt{L\frac{C_1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot 2\pi\sqrt{LC_1} = \frac{1}{2} T_1$

Подставим известное значение $T_1$:

$T_2 = \frac{1}{2} \cdot 5,0$ мкс = $2,5$ мкс

Ответ: $2,5$ мкс.