Номер 179, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

179. В радиоэлектронных устройствах для электронного управления частотой собственных колебаний в колебательном контуре в качестве конденсатора используется варикап — полупроводниковый прибор, емкость которого зависит от приложенного к нему постоянного напряжения. На сколько процентов увеличилась частота собственных колебаний колебательного контура, если электроемкость варикапа изменилась от $C_1 = 24 \text{ пФ}$ до $C_2 = 12 \text{ пФ}$?

Дано:

$C_1 = 24 \text{ пФ}$

$C_2 = 12 \text{ пФ}$

Перевод в систему СИ:

$C_1 = 24 \times 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_2 = 12 \times 10^{-12} \text{ Ф}$

Найти:

Процентное увеличение частоты $\frac{\Delta\nu}{\nu_1} \times 100\%$

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкостью $C$) определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

В данном случае индуктивность катушки $L$ остается постоянной, а изменяется только емкость варикапа.

Начальная частота колебаний контура при емкости $C_1$ равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Конечная частота колебаний контура при емкости $C_2$ равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Чтобы определить, на сколько процентов увеличилась частота, найдем отношение конечной частоты $\nu_2$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Подставим числовые значения емкостей в полученное выражение:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{24 \times 10^{-12}}{12 \times 10^{-12}}} = \sqrt{2} \approx 1.414$

Это означает, что конечная частота в $\sqrt{2}$ раз больше начальной.

Теперь найдем процентное увеличение частоты. Если начальную частоту $\nu_1$ принять за 100%, то процентное изменение можно рассчитать по формуле:

$\frac{\Delta\nu}{\nu_1} \times 100\% = \frac{\nu_2 - \nu_1}{\nu_1} \times 100\% = \left(\frac{\nu_2}{\nu_1} - 1\right) \times 100\%$

Подставим найденное отношение частот:

$\left(\sqrt{2} - 1\right) \times 100\% \approx (1.414 - 1) \times 100\% = 0.414 \times 100\% = 41.4\%$

Ответ: Частота собственных колебаний колебательного контура увеличилась на 41,4%.