Номер 186, страница 59 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

186. Принцип работы одного из типов металлоискателей следующий. В колебательном контуре создают незатухающие колебания, происходящие на собственной частоте контура. Некоторые предметы, если их приблизить к катушке, изменяют ее индуктивность. При этом происходит изменение собственной частоты колебательного контура, которое регистрируется частотомером.

а) Какие из предметов могут заметно изменить индуктивность катушки: 1) глиняный кувшин; 2) медная монета; 3) железная подкова?

б) Рассчитайте, на сколько процентов изменилась индуктивность катушки, если после приближения к катушке золотого браслета частота собственных колебаний контура изменилась от 10 000 Гц до 10 010 Гц.

а)

Индуктивность катушки $L$ зависит от магнитных свойств среды, находящейся в её магнитном поле. Величина, характеризующая эти свойства, — магнитная проницаемость $\mu$.

1) Глиняный кувшин является диэлектриком. Его магнитная проницаемость практически не отличается от магнитной проницаемости вакуума ($\mu \approx \mu_0$). Поэтому он не окажет заметного влияния на индуктивность катушки.

2) Медная монета — хороший проводник и диамагнетик ($\mu < \mu_0$). При внесении в переменное магнитное поле катушки в монете возникают индукционные (вихревые) токи. Согласно правилу Ленца, магнитное поле этих токов направлено против внешнего поля, ослабляя его. Это приводит к уменьшению индуктивности катушки.

3) Железная подкова является ферромагнетиком. Ферромагнетики обладают очень большой магнитной проницаемостью ($\mu \gg \mu_0$). При внесении в поле катушки железо сильно намагничивается, концентрируя линии магнитного поля и значительно усиливая его. Это приводит к существенному увеличению индуктивности катушки.

Таким образом, заметно изменить индуктивность катушки могут медная монета и железная подкова.

Ответ: 2) медная монета; 3) железная подкова.

б)

Дано:

Начальная частота собственных колебаний $\nu_1 = 10 000$ Гц.

Конечная частота собственных колебаний $\nu_2 = 10 010$ Гц.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Процентное изменение индуктивности катушки: $\frac{\Delta L}{L_1} \cdot 100\%$.

Решение:

Собственная частота колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

При приближении предмета к катушке изменяется только её индуктивность $L$, ёмкость $C$ остаётся постоянной.

Запишем формулу для начальной и конечной частот:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}$

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}}$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы найти соотношение между индуктивностями:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{1/(2\pi\sqrt{L_1C})}{1/(2\pi\sqrt{L_2C})} = \frac{\sqrt{L_2C}}{\sqrt{L_1C}} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$

Возведём обе части в квадрат, чтобы выразить отношение индуктивностей:

$\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2$

Относительное изменение индуктивности равно:

$\frac{\Delta L}{L_1} = \frac{L_2 - L_1}{L_1} = \frac{L_2}{L_1} - 1$

Подставим полученное ранее выражение:

$\frac{\Delta L}{L_1} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1$

Теперь подставим числовые значения:

$\frac{\Delta L}{L_1} = \left(\frac{10000}{10010}\right)^2 - 1 = \left(\frac{1000}{1001}\right)^2 - 1 \approx (0.999000999)^2 - 1 \approx 0.99800299 - 1 = -0.001997$

Чтобы выразить это изменение в процентах, умножим результат на 100%:

$\frac{\Delta L}{L_1} \cdot 100\% = -0.001997 \cdot 100\% \approx -0.2\%$

Знак «минус» означает, что индуктивность катушки уменьшилась. Золотой браслет, как и медная монета, является хорошим проводником, поэтому при приближении к катушке в нём возникают вихревые токи, которые уменьшают её индуктивность.

Ответ: индуктивность катушки уменьшилась примерно на 0.2%.