Номер 190, страница 60 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

190. В идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки и плоского воздушного конденсатора, происходят свободные незатухающие колебания с периодом $T_1 = 5,0$ мкс. Амплитуда колебаний напряжения $U_{01} = 1$ В. В момент времени, когда сила тока в контуре равна нулю, расстояние между обкладками конденсатора мгновенно увеличили в $n = 4$ раза. Определите период электромагнитных колебаний в контуре после этих изменений и амплитуду колебаний напряжения.

Дано:

$T_1 = 5,0 \text{ мкс} = 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$U_{01} = 1 \text{ В}$

$n = 4$

Момент изменения: $I=0$

Найти:

$T_2$ - ?

$U_{02}$ - ?

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$, где $L$ - индуктивность катушки, а $C$ - ёмкость конденсатора.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора зависит от расстояния $d$ между его обкладками по формуле $C = \frac{\epsilon\epsilon_0 S}{d}$, где $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха $\epsilon \approx 1$), $S$ - площадь обкладок.

Пусть начальная ёмкость конденсатора $C_1$, а расстояние между обкладками $d_1$. Тогда $C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$. После увеличения расстояния в $n$ раз, новое расстояние $d_2 = n d_1$, а новая ёмкость $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d_2} = \frac{\epsilon_0 S}{n d_1} = \frac{C_1}{n}$.

период электромагнитных колебаний в контуре после этих изменений

Начальный период колебаний был $T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$.

После изменения ёмкости конденсатора на $C_2 = C_1/n$ новый период колебаний $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2} = 2\pi\sqrt{L\frac{C_1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot (2\pi\sqrt{LC_1}) = \frac{T_1}{\sqrt{n}}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = \frac{5,0 \text{ мкс}}{\sqrt{4}} = \frac{5,0 \text{ мкс}}{2} = 2,5 \text{ мкс}$

Ответ: $2,5 \text{ мкс}$.

амплитуду колебаний напряжения

Изменение расстояния между обкладками конденсатора происходит в момент времени, когда сила тока в контуре равна нулю ($I=0$). В этот момент энергия магнитного поля катушки $W_M = \frac{LI^2}{2}$ равна нулю. Это означает, что вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора, и эта энергия максимальна. Следовательно, заряд $q$ на конденсаторе и напряжение $U$ на нём достигают своих амплитудных (максимальных) значений: $q_1 = q_{01}$ и $U_1 = U_{01}$.

Заряд на обкладках конденсатора в этот момент равен $q_{01} = C_1 U_{01}$.

Поскольку изменение расстояния между обкладками происходит мгновенно, заряд на изолированных обкладках не успевает измениться (закон сохранения заряда). Значит, сразу после раздвижения обкладок заряд на них остаётся прежним: $q_2 = q_{01}$.

В этот новый момент времени ток в контуре всё ещё равен нулю, поэтому заряд $q_2$ является амплитудным значением для нового колебательного процесса: $q_{02} = q_2$.

Новая амплитуда напряжения $U_{02}$ связана с новым амплитудным зарядом $q_{02}$ и новой ёмкостью $C_2$ соотношением:

$q_{02} = C_2 U_{02}$

Приравнивая выражения для зарядов ($q_{02} = q_{01}$), получаем:

$C_2 U_{02} = C_1 U_{01}$

Отсюда выражаем новую амплитуду напряжения $U_{02}$:

$U_{02} = \frac{C_1}{C_2} U_{01}$

Подставляя $C_2 = C_1/n$, находим:

$U_{02} = \frac{C_1}{C_1/n} U_{01} = n U_{01}$

Подставим числовые значения:

$U_{02} = 4 \cdot 1 \text{ В} = 4 \text{ В}$

Ответ: $4 \text{ В}$.