Номер 196, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

196. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В некоторый момент времени заряд конденсатора $q_1 = 80 \text{ мкКл}$, сила тока в катушке $I_1 = 0,60 \text{ А}$. Определите циклическую частоту электромагнитных колебаний в контуре, если амплитудное значение силы тока в контуре $I_0 = 1,0 \text{ А}$.

Дано:

$q_1 = 80$ мкКл

$I_1 = 0,60$ А

$I_0 = 1,0$ А

$q_1 = 80 \cdot 10^{-6}$ Кл $= 8 \cdot 10^{-5}$ Кл

Найти:

$\omega$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Полная энергия в любой момент времени $t$ равна сумме энергии электрического поля в конденсаторе $W_C$ и энергии магнитного поля в катушке $W_L$:

$W = W_C + W_L = \frac{q(t)^2}{2C} + \frac{L \cdot I(t)^2}{2}$

где $q(t)$ и $I(t)$ — мгновенные значения заряда и силы тока, а $C$ и $L$ — ёмкость конденсатора и индуктивность катушки соответственно.

Так как контур идеальный (без потерь энергии), полная энергия $W$ остается постоянной и равной своей максимальной величине. Максимальная энергия достигается, когда вся энергия сосредоточена либо в конденсаторе (при максимальном заряде $q_0$ и нулевом токе), либо в катушке (при максимальном токе $I_0$ и нулевом заряде).

$W = \frac{LI_0^2}{2}$

Таким образом, для любого момента времени выполняется закон сохранения энергии:

$\frac{q_1^2}{2C} + \frac{LI_1^2}{2} = \frac{LI_0^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\frac{q_1^2}{C} + LI_1^2 = LI_0^2$

Перенесём слагаемое с $I_1$ в правую часть и вынесем $L$ за скобки:

$\frac{q_1^2}{C} = L(I_0^2 - I_1^2)$

Разделим обе части на $L$:

$\frac{q_1^2}{LC} = I_0^2 - I_1^2$

Циклическая (угловая) частота электромагнитных колебаний в контуре $\omega$ связана с индуктивностью и ёмкостью по формуле Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, откуда $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.

Подставим $\omega^2$ в полученное ранее уравнение:

$q_1^2 \omega^2 = I_0^2 - I_1^2$

Отсюда выражаем искомую циклическую частоту $\omega$:

$\omega^2 = \frac{I_0^2 - I_1^2}{q_1^2}$

$\omega = \sqrt{\frac{I_0^2 - I_1^2}{q_1^2}} = \frac{\sqrt{I_0^2 - I_1^2}}{q_1}$

Подставим числовые значения из условия:

$\omega = \frac{\sqrt{(1,0 \text{ А})^2 - (0,60 \text{ А})^2}}{8 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}} = \frac{\sqrt{1,0 - 0,36}}{8 \cdot 10^{-5}} \frac{\text{А}}{\text{Кл}} = \frac{\sqrt{0,64}}{8 \cdot 10^{-5}} \frac{\text{А}}{\text{Кл}}$

$\omega = \frac{0,8}{8 \cdot 10^{-5}} \text{ с}^{-1} = 0,1 \cdot 10^5 \text{ с}^{-1} = 10000 \text{ рад/с}$

Ответ: циклическая частота электромагнитных колебаний в контуре равна $10^4$ рад/с.