Номер 201, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

201. Определите отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в идеальном колебательном контуре:

а) спустя время $t = \frac{T}{6}$ после начала колебаний, где $T$ — период колебаний;

б) в момент времени, когда мгновенное напряжение на конденсаторе будет в четыре раза меньше амплитудного. В начальный момент времени заряд конденсатора был максимальным.

Дано:
Идеальный колебательный контур
$q(0) = q_{max}$ (заряд конденсатора в начальный момент времени максимален)
a) $t = \frac{T}{6}$
б) $u = \frac{U_m}{4}$

Найти:
$\frac{W_L}{W_C}$ - отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора.

Решение:
В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется и равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки $W_L$: $W_{полн} = W_C + W_L = const$.

Полная энергия контура равна максимальной энергии электрического поля $W_{C,max}$ или максимальной энергии магнитного поля $W_{L,max}$: $W_{полн} = W_{C,max} = W_{L,max}$.

Энергия электрического поля конденсатора в любой момент времени: $W_C = \frac{C u^2}{2}$. Максимальная энергия: $W_{C,max} = \frac{C U_m^2}{2}$.

Энергия магнитного поля катушки в любой момент времени: $W_L = \frac{L i^2}{2}$. Максимальная энергия: $W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$.

Из условия, что в начальный момент времени $t=0$ заряд конденсатора был максимальным, следует, что колебания напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке описываются следующими уравнениями: $u(t) = U_m \cos(\omega t)$ $i(t) = -I_m \sin(\omega t)$ где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ - циклическая частота, $T$ - период колебаний.

Тогда энергии полей в зависимости от времени можно выразить как: $W_C(t) = \frac{C u^2(t)}{2} = \frac{C U_m^2 \cos^2(\omega t)}{2} = W_{C,max} \cos^2(\omega t)$ $W_L(t) = \frac{L i^2(t)}{2} = \frac{L I_m^2 \sin^2(\omega t)}{2} = W_{L,max} \sin^2(\omega t)$

а) Найдем отношение энергий в момент времени $t = \frac{T}{6}$. Искомое отношение: $\frac{W_L}{W_C} = \frac{W_{L,max} \sin^2(\omega t)}{W_{C,max} \cos^2(\omega t)}$

Так как $W_{L,max} = W_{C,max}$, то: $\frac{W_L}{W_C} = \frac{\sin^2(\omega t)}{\cos^2(\omega t)} = \tan^2(\omega t)$

Подставим в это выражение $t = \frac{T}{6}$ и $\omega = \frac{2\pi}{T}$: $\omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} = \frac{\pi}{3}$

Тогда отношение энергий равно: $\frac{W_L}{W_C} = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$

Ответ: 3.

б) Найдем отношение энергий в момент времени, когда мгновенное напряжение на конденсаторе $u = \frac{U_m}{4}$. Энергия электрического поля в этот момент: $W_C = \frac{C u^2}{2} = \frac{C \left(\frac{U_m}{4}\right)^2}{2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{C U_m^2}{2} = \frac{1}{16} W_{C,max}$

Из закона сохранения энергии $W_L = W_{полн} - W_C$. Поскольку $W_{полн} = W_{C,max}$, получаем: $W_L = W_{C,max} - \frac{1}{16} W_{C,max} = \frac{15}{16} W_{C,max}$

Теперь найдем искомое отношение: $\frac{W_L}{W_C} = \frac{\frac{15}{16} W_{C,max}}{\frac{1}{16} W_{C,max}} = 15$

Ответ: 15.