Номер 199, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

199. При равномерном изменении силы тока на $\Delta I = -0.32 \text{ А}$ за время $\Delta t = 20 \text{ мс}$ в катушке возникает ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_c = 4.0 \text{ В}$. Подключив эту катушку к конденсатору электроемкостью $C = 40 \text{ нФ}$, создали идеальный колебательный контур. Определите максимальный заряд конденсатора, если при свободных гармонических электромагнитных колебаниях максимальная сила тока в катушке $I_0 = 2.0 \text{ А}$.

Дано:

$\Delta I = -0,32$ А

$\Delta t = 20$ мс = $20 \cdot 10^{-3}$ с = $0,02$ с

$\mathcal{E}_c = 4,0$ В

$C = 40$ нФ = $40 \cdot 10^{-9}$ Ф = $4 \cdot 10^{-8}$ Ф

$I_0 = 2,0$ А

Найти:

$q_{max}$

Решение:

Задача решается в два этапа. Сначала необходимо определить индуктивность катушки $L$ из данных о возникающей в ней ЭДС самоиндукции. Затем, используя закон сохранения энергии для идеального колебательного контура, найти максимальный заряд на конденсаторе.

1. ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_c$, возникающая в катушке при равномерном изменении силы тока, определяется по формуле:

$\mathcal{E}_c = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

где $L$ – индуктивность катушки.

Выразим индуктивность $L$ из этой формулы:

$L = -\frac{\mathcal{E}_c \cdot \Delta t}{\Delta I}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L = -\frac{4,0 \text{ В} \cdot 0,02 \text{ с}}{-0,32 \text{ А}} = \frac{0,08}{0,32} \text{ Гн} = 0,25 \text{ Гн}$

2. Для идеального колебательного контура выполняется закон сохранения энергии. Максимальная энергия магнитного поля катушки равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:

$W_{L, max} = W_{C, max}$

Энергии определяются формулами:

$W_{L, max} = \frac{L I_0^2}{2}$

$W_{C, max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Приравняем максимальные энергии:

$\frac{L I_0^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Отсюда выразим максимальный заряд конденсатора $q_{max}$:

$q_{max}^2 = L C I_0^2$

$q_{max} = I_0 \sqrt{L C}$

Подставим известные и вычисленные значения:

$q_{max} = 2,0 \text{ А} \cdot \sqrt{0,25 \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 2,0 \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл}$

$q_{max} = 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ Кл}$

Данное значение можно также выразить в микрокулонах:

$2,0 \cdot 10^{-4} \text{ Кл} = 200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 200 \text{ мкКл}$

Ответ: максимальный заряд конденсатора равен $2,0 \cdot 10^{-4}$ Кл (или 200 мкКл).