Номер 197, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

197. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. На рисунке 51 представлен график зависимости заряда конденсатора от времени. Индуктивность контура $L = 10$ мГн. Определите полную энергию контура.

$q$, мкКл

1,0

0

-1,0

1,57

3,14

4,71

6,28

$t$, мкс

Рис. 51

Дано

$L = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн}$

Из графика:

Амплитуда заряда $q_{max} = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Период колебаний $T = 6,28 \text{ мкс} = 6,28 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Найти:

$W$ - ?

Решение

В колебательном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, поэтому полная энергия контура сохраняется. Полная энергия $W$ равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

$W = W_C + W_L = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

Полная энергия контура равна максимальной энергии электрического поля конденсатора (когда ток в катушке равен нулю) или максимальной энергии магнитного поля катушки (когда заряд на конденсаторе равен нулю).

$W = W_{C, max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

$W = W_{L, max} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

Мы можем найти полную энергию, вычислив максимальную энергию катушки индуктивности. Для этого сначала найдем максимальное значение силы тока $I_{max}$.

Сила тока $I$ является производной от заряда $q$ по времени: $I(t) = q'(t)$.

Заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону. Судя по графику (в момент $t=0$ заряд $q=0$ и растет), закон изменения заряда имеет вид:

$q(t) = q_{max} \sin(\omega t)$

Тогда сила тока изменяется по закону:

$I(t) = q'(t) = (q_{max} \sin(\omega t))' = q_{max} \omega \cos(\omega t)$

Амплитудное (максимальное) значение силы тока равно:

$I_{max} = q_{max} \omega$

Циклическую частоту $\omega$ найдем через период колебаний $T$, который определим из графика: $T = 6,28$ мкс.

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Заметим, что $6,28 \approx 2\pi$, поэтому:

$\omega \approx \frac{2\pi}{2\pi \cdot 10^{-6} \text{ с}} = 10^6 \text{ рад/с}$

Теперь найдем максимальную силу тока:

$I_{max} = q_{max} \omega = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^6 \text{ рад/с} = 1 \text{ А}$

Наконец, вычислим полную энергию контура как максимальную энергию магнитного поля катушки:

$W = \frac{LI_{max}^2}{2} = \frac{10^{-2} \text{ Гн} \cdot (1 \text{ А})^2}{2} = 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Переведем в миллиджоули: $5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 5 \text{ мДж}$.

Ответ: $5 \text{ мДж}$.