Номер 195, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

195. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. На рисунке 50 представлен график зависимости напряжения на конденсаторе в идеальном колебательном контуре от времени. Определите максимальную силу тока в катушке, если электроемкость конденсатора $C = 600 \text{ нФ}$.

Рис. 50

Дано:

$C = 600 \text{ нФ}$

Из графика:

Амплитуда напряжения $U_{max} = 20 \text{ В}$

Период колебаний $T = 40 \text{ мкс}$

Перевод в систему СИ:

$C = 600 \times 10^{-9} \text{ Ф} = 6 \times 10^{-7} \text{ Ф}$

$T = 40 \times 10^{-6} \text{ с} = 4 \times 10^{-5} \text{ с}$

Найти:

$I_{max}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C,max}$ равна максимальной энергии магнитного поля катушки $W_{L,max}$.

Максимальную силу тока можно найти через закон сохранения энергии, но более прямой способ — использовать связь между амплитудами заряда, напряжения и тока. Заряд на конденсаторе связан с напряжением как $q(t) = C U(t)$. Следовательно, амплитуда заряда равна $q_{max} = C U_{max}$.

Сила тока в контуре — это производная заряда по времени: $I(t) = \frac{dq}{dt}$. Для гармонических колебаний с циклической (угловой) частотой $\omega$ амплитуда силы тока $I_{max}$ связана с амплитудой заряда $q_{max}$ соотношением:

$I_{max} = \omega q_{max} = \omega C U_{max}$

Циклическую частоту $\omega$ можно найти, зная период колебаний $T$, который мы определим по графику:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Из представленного графика зависимости напряжения на конденсаторе от времени (Рис. 50) находим:

Амплитудное (максимальное) значение напряжения: $U_{max} = 20 \text{ В}$.

Период колебаний (время одного полного колебания): $T = 40 \text{ мкс} = 4 \times 10^{-5} \text{ с}$.

Теперь можем рассчитать циклическую частоту:

$\omega = \frac{2\pi}{4 \times 10^{-5} \text{ с}} = 0.5\pi \times 10^5 \text{ рад/с}$

Используя значение емкости из условия $C = 600 \text{ нФ} = 6 \times 10^{-7} \text{ Ф}$, найдем максимальную силу тока:

$I_{max} = \omega C U_{max} = (0.5\pi \times 10^5 \text{ рад/с}) \cdot (6 \times 10^{-7} \text{ Ф}) \cdot (20 \text{ В})$

$I_{max} = (0.5\pi \cdot 6 \cdot 20) \times 10^{5-7} \text{ А} = 60\pi \times 10^{-2} \text{ А} = 0.6\pi \text{ А}$

Вычислим численное значение, принимая $\pi \approx 3.14$:

$I_{max} \approx 0.6 \cdot 3.14 = 1.884 \text{ А} \approx 1.88 \text{ А}$

Ответ: максимальная сила тока в катушке составляет $0.6\pi \text{ А}$, что приблизительно равно $1.88 \text{ А}$.