Номер 187, страница 59 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

187. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью $C = 8,0 \text{ пФ}$ и катушки индуктивностью $L = 0,2 \text{ мГн}$. Определите максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если при свободных электромагнитных колебаниях максимальная сила тока в контуре $I_0 = 40 \text{ мА}$.

Дано:

$C = 8,0 \text{ пФ}$

$L = 0,2 \text{ мГн}$

$I_0 = 40 \text{ мА}$

$C = 8,0 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$L = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$I_0 = 40 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

$U_0$

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C,max}$ равна максимальной энергии магнитного поля катушки $W_{L,max}$.

Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе, когда напряжение на нем максимально ($U_0$), вычисляется по формуле:

$W_{C,max} = \frac{C U_0^2}{2}$

где $C$ – емкость конденсатора, а $U_0$ – максимальное напряжение на нем (амплитуда напряжения).

Максимальная энергия, запасенная в катушке индуктивности, когда ток в ней максимален ($I_0$), вычисляется по формуле:

$W_{L,max} = \frac{L I_0^2}{2}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $I_0$ – максимальная сила тока в контуре (амплитуда тока).

Согласно закону сохранения энергии:

$W_{C,max} = W_{L,max}$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{C U_0^2}{2} = \frac{L I_0^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$C U_0^2 = L I_0^2$

Выразим из этого соотношения искомое максимальное напряжение $U_0$:

$U_0^2 = \frac{L I_0^2}{C}$

$U_0 = \sqrt{\frac{L I_0^2}{C}} = I_0 \sqrt{\frac{L}{C}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$U_0 = 40 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{\frac{0,2 \cdot 10^{-3}}{8,0 \cdot 10^{-12}}} = 40 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-4}}{8 \cdot 10^{-12}}} = 40 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{0,25 \cdot 10^8}$

Проведем вычисления:

$U_0 = 40 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{25 \cdot 10^6} = 40 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^3 = 200 \text{ В}$

Ответ: $200 \text{ В}$.