Номер 178, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

178. Колебательный контур состоит из конденсатора ем-костью $C = 20 \text{ мкФ}$ и катушки, индуктивность которой изменяется в пределах от $L_1 = 40 \text{ мГн}$ до $L_2 = 10 \text{ мГн}$. Определите интервал изменения частоты свободных электромагнитных колебаний в этом контуре.

Дано:

$C = 20 \text{ мкФ} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}$

$L_1 = 40 \text{ мГн} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}$

$L_2 = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}$

Найти:

Интервал изменения частоты свободных колебаний $[\nu_{min}, \nu_{max}]$.

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона, выраженной для частоты $\nu$:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $T$ — период колебаний, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

Из формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из индуктивности $L$. Это означает, что максимальному значению индуктивности будет соответствовать минимальная частота, а минимальному значению индуктивности — максимальная частота.

В данном случае индуктивность изменяется в пределах от $L_2 = 10 \text{ мГн}$ (минимальное значение) до $L_1 = 40 \text{ мГн}$ (максимальное значение).

1. Рассчитаем минимальную частоту колебаний $\nu_{min}$, которая соответствует максимальной индуктивности $L_1 = 4 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}$:

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{8 \cdot 10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{80 \cdot 10^{-8}}}$

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-4}\sqrt{80}} = \frac{10^4}{2\pi \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{10000}{8\pi\sqrt{5}}$

Подставим приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$\nu_{min} \approx \frac{10000}{8 \cdot 3.14 \cdot 2.236} \approx \frac{10000}{56.18} \approx 178 \text{ Гц}$

2. Рассчитаем максимальную частоту колебаний $\nu_{max}$, которая соответствует минимальной индуктивности $L_2 = 1 \cdot 10^{-2} \text{ Гн}$:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2 \cdot 10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \cdot 10^{-8}}}$

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-4}\sqrt{20}} = \frac{10^4}{2\pi \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10000}{4\pi\sqrt{5}}$

Подставим приближенные значения:

$\nu_{max} \approx \frac{10000}{4 \cdot 3.14 \cdot 2.236} \approx \frac{10000}{28.09} \approx 356 \text{ Гц}$

Таким образом, частота свободных электромагнитных колебаний в контуре изменяется в интервале от 178 Гц до 356 Гц.

Ответ: Частота свободных электромагнитных колебаний в этом контуре изменяется в интервале от 178 Гц до 356 Гц.