Номер 214, страница 67 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

214. Напряжение на резисторе, по которому протекает переменный электрический ток, изменяется по закону:

$U(t) = U_0 \sin(At + B)$, где $A=100\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, $B=\frac{\pi}{6}$ рад. В момент времени $t = 2,0$ с мгновенное напряжение $U = 9,0$ В. Определите частоту колебаний силы тока, амплитудное и действующее значения напряжения, амплитудное и действующее значения силы тока в резисторе, если сопротивление резистора $R = 9,0$ Ом.

Дано:

Закон изменения напряжения: $U(t) = U_0 \sin(At + B)$
Коэффициент $A = 100\pi$ рад/с
Начальная фаза $B = \frac{\pi}{6}$ рад
Момент времени $t = 2,0$ с
Мгновенное напряжение $U(t=2,0\text{ с}) = 9,0$ В
Сопротивление резистора $R = 9,0$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$f$ - частоту колебаний силы тока
$U_0$ - амплитудное значение напряжения
$U_{действ}$ - действующее значение напряжения
$I_0$ - амплитудное значение силы тока
$I_{действ}$ - действующее значение силы тока

Решение:

1. Определите частоту колебаний силы тока

Закон изменения напряжения $U(t) = U_0\sin(At+B)$ соответствует общей форме $U(t) = U_0\sin(\omega t + \phi_0)$, где $\omega$ - циклическая частота. Из сравнения уравнений следует, что $A = \omega$.
Циклическая частота связана с линейной частотой $f$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Отсюда можем выразить частоту $f$:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{A}{2\pi} = \frac{100\pi \text{ рад/с}}{2\pi \text{ рад}} = 50 \text{ Гц}$

Частота колебаний силы тока в цепи с резистором совпадает с частотой колебаний напряжения.

Ответ: Частота колебаний силы тока составляет 50 Гц.

2. Определите амплитудное значение напряжения

Для нахождения амплитудного значения напряжения $U_0$ воспользуемся данными для момента времени $t = 2,0$ с, когда мгновенное напряжение $U = 9,0$ В. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$U(t) = U_0 \sin(At + B)$

$9,0 = U_0 \sin(100\pi \cdot 2,0 + \frac{\pi}{6})$

Вычислим значение синуса. Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, слагаемое $200\pi$ можно отбросить:

$\sin(200\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$

Теперь уравнение принимает вид:

$9,0 = U_0 \cdot 0,5$

Отсюда находим амплитуду напряжения:

$U_0 = \frac{9,0}{0,5} = 18$ В

Ответ: Амплитудное значение напряжения равно 18 В.

3. Определите действующее значение напряжения

Действующее (эффективное) значение напряжения $U_{действ}$ для синусоидального тока связано с амплитудным значением $U_0$ следующим соотношением:

$U_{действ} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}$

Подставим найденное значение $U_0$:

$U_{действ} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \approx 12,7$ В

Ответ: Действующее значение напряжения примерно равно 13 В.

4. Определите амплитудное значение силы тока

Амплитудное значение силы тока $I_0$ можно найти, используя закон Ома для амплитудных значений в цепи с активным сопротивлением:

$I_0 = \frac{U_0}{R}$

Подставим известные значения $U_0$ и $R$:

$I_0 = \frac{18 \text{ В}}{9,0 \text{ Ом}} = 2,0$ А

Ответ: Амплитудное значение силы тока равно 2,0 А.

5. Определите действующее значение силы тока

Действующее значение силы тока $I_{действ}$ связано с амплитудным значением $I_0$ так же, как и для напряжения:

$I_{действ} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$

Подставим найденное значение $I_0$:

$I_{действ} = \frac{2,0}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41$ А

Также его можно было найти по закону Ома для действующих значений: $I_{действ} = \frac{U_{действ}}{R} = \frac{9\sqrt{2}}{9,0} = \sqrt{2} \approx 1,41$ А.

Ответ: Действующее значение силы тока примерно равно 1,4 А.