Номер 212, страница 66 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

212. Квадратная рамка, изготовленная из нескольких витков тонкой проволоки, равномерно вращается вокруг оси, совпадающей с одной из сторон рамки, с угловой скоростью $\omega=50 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Рамка находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B=20 \text{ мТл}$, а линии индукции перпендикулярны оси вращения. Определите число витков проволоки, если длина всей проволоки $l=24 \text{ м}$, а максимальная ЭДС индукции, возникающая в рамке, $\mathcal{E}_0 = 1,2 \text{ В}$.

Дано

$ \omega = 50 $ рад/с
$ B = 20 $ мТл = $ 20 \cdot 10^{-3} $ Тл = $ 0.02 $ Тл
$ l = 24 $ м
$ \mathcal{E}_0 = 1.2 $ В

Найти:

$ N $ - ?

Решение

Рамка является квадратной и состоит из $ N $ витков. Пусть сторона квадрата равна $ a $. Тогда периметр одного витка равен $ P = 4a $.

Общая длина проволоки $ l $ связана с числом витков $ N $ и периметром одного витка $ P $ соотношением: $ l = N \cdot P = N \cdot 4a $.

Отсюда можно выразить сторону квадрата $ a $ через $ l $ и $ N $: $ a = \frac{l}{4N} $.

Площадь одного витка (площадь рамки) $ S $ равна: $ S = a^2 = \left(\frac{l}{4N}\right)^2 = \frac{l^2}{16N^2} $.

Магнитный поток $ \Phi $, пронизывающий рамку, изменяется при ее вращении. В произвольный момент времени $ t $ угол $ \alpha $ между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и нормалью к плоскости рамки $ \vec{n} $ равен $ \alpha = \omega t $ (при условии, что в начальный момент времени $ t=0 $ нормаль параллельна вектору индукции).

Магнитный поток через все $ N $ витков рамки равен: $ \Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha) = N B S \cos(\omega t) $.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ \mathcal{E} $, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$ \mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} (N B S \cos(\omega t)) = -N B S (-\omega \sin(\omega t)) = N B S \omega \sin(\omega t) $.

Максимальное значение ЭДС индукции (амплитуда) $ \mathcal{E}_0 $ достигается, когда $ \sin(\omega t) = 1 $. Таким образом:

$ \mathcal{E}_0 = N B S \omega $.

Подставим в это выражение ранее найденную формулу для площади $ S $:

$ \mathcal{E}_0 = N \cdot B \cdot \left(\frac{l^2}{16N^2}\right) \cdot \omega = \frac{B l^2 \omega}{16N} $.

Из этого соотношения выразим искомое число витков $ N $:

$ N = \frac{B l^2 \omega}{16 \mathcal{E}_0} $.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ N = \frac{0.02 \cdot (24)^2 \cdot 50}{16 \cdot 1.2} = \frac{0.02 \cdot 576 \cdot 50}{19.2} = \frac{576}{19.2} = \frac{5760}{192} = 30 $.

Ответ: число витков проволоки равно 30.