Номер 213, страница 67 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

213. Проволочная рамка, состоящая из $N = 240$ витков тонкого провода, равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной вектору магнитной индукции. На рисунке 53 представлен график зависимости магнитного потока, пронизывающего каждый виток рамки, от времени. Определите максимальную ЭДС индукции, возникающей в рамке.

$Ф \text{, мкВб}$

$t \text{, мс}$

Рис. 53

Дано:

Число витков в рамке: $N = 240$.
Из графика зависимости магнитного потока от времени для одного витка:
Амплитудное (максимальное) значение магнитного потока: $\Phi_{max} = 120 \text{ мкВб} = 120 \cdot 10^{-6} \text{ Вб}$.
Период колебаний магнитного потока (и вращения рамки): $T = 20,0 \text{ мс} = 20,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}$.

Найти:

Максимальную ЭДС индукции $\mathcal{E}_{max}$.

Решение:

Магнитный поток, пронизывающий каждый виток рамки, изменяется со временем по гармоническому закону, что показано на графике. Эту зависимость можно описать формулой:$\Phi(t) = \Phi_{max} \sin(\omega t)$,где $\Phi_{max}$ — амплитуда магнитного потока, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота вращения рамки.

Полный магнитный поток $\Psi(t)$, пронизывающий всю рамку, состоящую из $N$ витков, равен:$\Psi(t) = N \cdot \Phi(t) = N \Phi_{max} \sin(\omega t)$.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}(t)$, возникающая в рамке, равна скорости изменения полного магнитного потока, взятой со знаком минус:$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Psi}{dt}$.

Найдем производную полного магнитного потока по времени, чтобы определить мгновенное значение ЭДС:$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} (N \Phi_{max} \sin(\omega t)) = - N \Phi_{max} \cdot (\cos(\omega t) \cdot \omega) = -N \Phi_{max} \omega \cos(\omega t)$.

Это выражение показывает, что ЭДС индукции также изменяется по гармоническому закону (в данном случае, по закону косинуса). Максимальное значение ЭДС индукции (её амплитуда) $\mathcal{E}_{max}$ равно модулю коэффициента перед косинусом:$\mathcal{E}_{max} = N \Phi_{max} \omega$.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом вращения $T$ соотношением:$\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставим это выражение в формулу для максимальной ЭДС:$\mathcal{E}_{max} = N \Phi_{max} \frac{2\pi}{T}$.

Теперь подставим числовые значения из условия задачи и полученные из графика:$\mathcal{E}_{max} = 240 \cdot (120 \cdot 10^{-6} \text{ Вб}) \cdot \frac{2\pi}{20,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}}$.

Выполним вычисления:$\mathcal{E}_{max} = \frac{240 \cdot 120 \cdot 2\pi \cdot 10^{-6}}{20 \cdot 10^{-3}} \text{ В} = \frac{57600 \pi \cdot 10^{-6}}{20 \cdot 10^{-3}} \text{ В} = 2880 \pi \cdot 10^{-3} \text{ В} = 2,88\pi \text{ В}$.

Принимая значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:$\mathcal{E}_{max} \approx 2,88 \cdot 3,14159 \text{ В} \approx 9,0477... \text{ В}$.

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $\mathcal{E}_{max} \approx 9,05 \text{ В}$.

Ответ: максимальная ЭДС индукции, возникающая в рамке, составляет приблизительно $9,05 \text{ В}$.