Номер 3, страница 126 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

3. Определите угол падения $\alpha$ луча света на поверхность стекла из воздуха, если угол преломления в $k = 2,0$ раза меньше угла падения. Показатель преломления стекла $n = 1,5$.

Дано:

Отношение угла падения к углу преломления $k = \frac{\alpha}{\gamma} = 2.0$
Показатель преломления стекла $n_2 = n = 1.5$
Показатель преломления воздуха (среда, из которой падает луч) $n_1 = 1.0$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\gamma$

где $n_1$ - показатель преломления первой среды (воздух), $n_2$ - показатель преломления второй среды (стекло), $\alpha$ - угол падения, $\gamma$ - угол преломления.

Из условия задачи известно, что угол преломления в $k=2$ раза меньше угла падения:

$\gamma = \frac{\alpha}{k} = \frac{\alpha}{2}$

Подставим это соотношение в закон Снеллиуса:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

$n_1 \cdot 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Для нетривиального случая, когда $\alpha \ne 0$ (и, следовательно, $\sin(\alpha/2) \ne 0$), мы можем сократить обе части уравнения на $\sin(\alpha/2)$:

$2 n_1 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2$

Выразим косинус угла $\alpha/2$:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{n_2}{2 n_1}$

Подставим числовые значения:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1.5}{2 \cdot 1.0} = 0.75$

Теперь найдем значение угла $\alpha/2$, взяв арккосинус от 0.75:

$\frac{\alpha}{2} = \arccos(0.75) \approx 41.4^\circ$

Отсюда находим искомый угол падения $\alpha$:

$\alpha = 2 \cdot \arccos(0.75) \approx 2 \cdot 41.4^\circ \approx 82.8^\circ$

Ответ: угол падения $\alpha \approx 82.8^\circ$.