Номер 6, страница 127 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Определите угол падения $\alpha$ на плоскую границу раздела двух сред с показателями преломления $n_1 = 1,5$ и $n_2 = 1,7$, если луч отраженный перпендикулярен лучу преломленному.

Дано:

Показатель преломления первой среды $n_1 = 1.5$
Показатель преломления второй среды $n_2 = 1.7$
Условие: отраженный луч перпендикулярен преломленному лучу.

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

При падении луча света на границу раздела двух сред одновременно происходят явления отражения и преломления. Для решения задачи воспользуемся соответствующими законами оптики.

Согласно закону отражения света, угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\alpha'$: $$ \alpha' = \alpha $$

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), связь между углом падения $\alpha$ и углом преломления $\beta$ описывается формулой: $$ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta $$

По условию задачи, отраженный луч перпендикулярен преломленному. Углы отражения и преломления отсчитываются от нормали к границе раздела сред и лежат в одной плоскости. Отраженный и преломленный лучи находятся по разные стороны от нормали, поэтому угол между ними равен сумме угла отражения и угла преломления. Таким образом, имеем геометрическое соотношение: $$ \alpha' + \beta = 90^\circ $$

Заменим угол отражения $\alpha'$ на равный ему угол падения $\alpha$: $$ \alpha + \beta = 90^\circ $$

Из этого выражения найдем угол преломления $\beta$: $$ \beta = 90^\circ - \alpha $$

Теперь подставим это выражение для угла $\beta$ в закон Снеллиуса: $$ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin(90^\circ - \alpha) $$

Воспользуемся тригонометрической формулой приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$. Уравнение примет вид: $$ n_1 \sin\alpha = n_2 \cos\alpha $$

Чтобы найти угол $\alpha$, выразим тангенс этого угла. Для этого разделим обе части уравнения на $n_1 \cos\alpha$ (мы можем это сделать, так как $\alpha \neq 90^\circ$ и, следовательно, $\cos\alpha \neq 0$): $$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{n_2}{n_1} $$

Так как отношение синуса к косинусу равно тангенсу, получаем: $$ \tan\alpha = \frac{n_2}{n_1} $$ (Данное условие определяет так называемый угол Брюстера).

Подставим числовые значения показателей преломления $n_1 = 1.5$ и $n_2 = 1.7$: $$ \tan\alpha = \frac{1.7}{1.5} \approx 1.1333 $$

Найдем угол $\alpha$, вычислив арктангенс полученного значения: $$ \alpha = \arctan\left(\frac{1.7}{1.5}\right) $$ $$ \alpha \approx 48.58^\circ $$

Округляя результат до десятых, получаем искомый угол падения.

Ответ: $\alpha \approx 48.6^\circ$.