Номер 4, страница 129 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Угол падения двух параллельных лучей света из воздуха на плоскопараллельную стеклянную пластинку ($n = 1,6$) равен $\alpha = 30^\circ$, а расстояние между ними $l_0 = 20$ мм. Определите расстояние $l$ между лучами в пластинке.

Дано:
Показатель преломления стеклянной пластинки: $n = 1,6$
Угол падения лучей: $\alpha = 30^\circ$
Расстояние между лучами в воздухе: $l_0 = 20 \, \text{мм}$
Показатель преломления воздуха принимаем равным $n_{возд} = 1$

Перевод в систему СИ:
$l_0 = 20 \, \text{мм} = 0,02 \, \text{м}$

Найти:
Расстояние между лучами в пластинке: $l$

Решение:

Когда параллельные лучи света падают на поверхность стеклянной пластинки, они входят в нее в разных точках. Пусть расстояние между этими точками вдоль поверхности пластинки равно $d$. Это расстояние связано с перпендикулярным расстоянием между лучами в воздухе $l_0$ и углом падения $\alpha$. Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенузой является отрезок $d$ на поверхности, а одним из катетов — отрезок $l_0$, то угол, противолежащий другому катету, будет равен $\alpha$. Таким образом, связь между этими величинами:
$\cos \alpha = \frac{l_0}{d}$, откуда $d = \frac{l_0}{\cos \alpha}$.

При переходе из воздуха в стекло лучи преломляются. Угол преломления $\beta$ определяется законом Снеллиуса:
$n_{возд} \sin \alpha = n \sin \beta$
Так как $n_{возд} = 1$, получаем:
$\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$

Внутри пластинки лучи остаются параллельными, но теперь распространяются под углом $\beta$ к нормали. Расстояние между ними $l$ будет связано с расстоянием $d$ на поверхности и углом преломления $\beta$ аналогично предыдущему случаю:
$\cos \beta = \frac{l}{d}$, откуда $l = d \cos \beta$.

Подставим в это выражение формулу для $d$:
$l = \left(\frac{l_0}{\cos \alpha}\right) \cos \beta = l_0 \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.

Теперь необходимо найти $\cos \beta$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$, получаем:
$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)^2} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{n}$.
(Берем положительное значение корня, так как угол преломления $0 \le \beta \le 90^\circ$).

Подставим числовые значения. Для удобства расчетов будем использовать $l_0$ в миллиметрах, тогда и результат для $l$ получится в миллиметрах.
$\sin \alpha = \sin 30^\circ = 0,5$
$\cos \alpha = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим итоговую формулу для $l$:
$l = l_0 \frac{\frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{n}}{\cos \alpha} = 20 \cdot \frac{\frac{\sqrt{1,6^2 - 0,5^2}}{1,6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{2,56 - 0,25}}{1,6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{2,31}}{0,8\sqrt{3}}$.

Заметим, что $2,31 = 3 \cdot 0,77$, тогда $\sqrt{2,31} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{0,77}$. Упростим выражение:
$l = 20 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{0,77}}{0,8\sqrt{3}} = \frac{20 \cdot \sqrt{0,77}}{0,8} = 25\sqrt{0,77}$.

Теперь вычислим числовое значение:
$l \approx 25 \cdot 0,8775 \approx 21,9375 \, \text{мм}$.

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем:

Ответ: $l \approx 21,9 \, \text{мм}$.