Номер 8, страница 137 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

8. Определите, как изменяется положение изображения и его линейное увеличение при перемещении предмета вдоль главной оптической оси собирающей (рассеивающей) линзы от оптического центра до бесконечности.

Решение

Для анализа воспользуемся формулой тонкой линзы $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ и формулой линейного увеличения $ \Gamma = -\frac{f}{d} $.

Здесь $d$ – расстояние от предмета до линзы (всегда положительное, $d \ge 0$), $f$ – расстояние от линзы до изображения ($f>0$ для действительного изображения, $f<0$ для мнимого), $F$ – фокусное расстояние линзы ($F>0$ для собирающей, $F<0$ для рассеивающей). Знак увеличения $\Gamma$ указывает на ориентацию изображения: $\Gamma>0$ для прямого изображения, $\Gamma<0$ для перевернутого. Величина $|\Gamma|$ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета.

Собирающая линза

Для собирающей линзы $F>0$. Выразим $f$ и $\Gamma$ через $d$ и $F$:

$f = \frac{dF}{d-F}$

$\Gamma = -\frac{f}{d} = -\frac{F}{d-F} = \frac{F}{F-d}$

Проанализируем, как меняются $f$ и $\Gamma$ при перемещении предмета от оптического центра ($d \to 0$) до бесконечности ($d \to \infty$).

1. Предмет между оптическим центром и фокусом ($0 \le d < F$).
В этом диапазоне $F-d > 0$, поэтому увеличение $\Gamma$ положительно ($\Gamma \ge 1$), а изображение прямое. Когда $d$ изменяется от 0 до $F$, знаменатель $F-d$ уменьшается от $F$ до 0, а увеличение $\Gamma = \frac{F}{F-d}$ возрастает от 1 до $+\infty$.
Расстояние до изображения $f = \frac{dF}{d-F}$ отрицательно, то есть изображение мнимое. При $d \to 0$, $f \to 0$. При $d \to F$ (слева), $f \to -\infty$. Таким образом, мнимое изображение движется от оптического центра в бесконечность по ту же сторону от линзы, что и предмет.

2. Предмет в фокусе ($d = F$).
Изображение формируется в бесконечности ($f \to \infty, |\Gamma| \to \infty$).

3. Предмет за фокусом ($d > F$).
В этом диапазоне $F-d < 0$, поэтому увеличение $\Gamma$ отрицательно, а изображение перевернутое. Когда $d$ изменяется от $F$ до $\infty$, знаменатель $d-F$ растет от 0 до $\infty$. Модуль увеличения $|\Gamma| = \frac{F}{d-F}$ убывает от $+\infty$ до 0.
Расстояние до изображения $f = \frac{dF}{d-F}$ положительно, то есть изображение действительное. При $d \to F$ (справа), $f \to +\infty$. При $d \to \infty$, $f \to F$. Таким образом, действительное изображение движется из бесконечности к заднему фокусу линзы.

Ответ: При перемещении предмета от оптического центра собирающей линзы до бесконечности, его изображение меняется следующим образом. Сначала (когда предмет движется от 0 до $F$) мнимое, прямое изображение удаляется от линзы (от 0 до $-\infty$), а его увеличение растет от 1 до $+\infty$. Затем (когда предмет движется от $F$ до $\infty$) действительное, перевернутое изображение приближается к линзе (от $+\infty$ до фокусного расстояния $F$), а его увеличение по модулю уменьшается от $+\infty$ до 0.

Рассеивающая линза

Для рассеивающей линзы $F < 0$. Обозначим $F = -|F|$.

$f = \frac{dF}{d-F} = \frac{d(-|F|)}{d - (-|F|)} = -\frac{d|F|}{d+|F|}$

$\Gamma = -\frac{f}{d} = - \left( \frac{-|F|}{d+|F|} \right) = \frac{|F|}{d+|F|}$

Проанализируем перемещение предмета от оптического центра ($d \to 0$) до бесконечности ($d \to \infty$).

Поскольку $d \ge 0$ и $|F|>0$, расстояние до изображения $f$ всегда отрицательно (или равно нулю при $d=0$). Это означает, что рассеивающая линза всегда дает мнимое изображение, расположенное с той же стороны, что и предмет.

Увеличение $\Gamma$ всегда положительно ($0 < \Gamma \le 1$), следовательно, изображение всегда прямое и уменьшенное (или равное по размеру предмету при $d=0$).

Рассмотрим, как меняются $f$ и $\Gamma$ при увеличении $d$ от 0 до $\infty$:

1. Положение изображения $f$.
При $d=0$, $f=0$. При увеличении $d$, знаменатель $d+|F|$ растет, и $|f|$ также растет. В пределе при $d \to \infty$, $f = -\frac{|F|}{1+|F|/d} \to -|F|$. Таким образом, при перемещении предмета от оптического центра до бесконечности его мнимое изображение перемещается от оптического центра до переднего фокуса ($f$ меняется от 0 до $-|F|$).

2. Линейное увеличение $\Gamma$.
При $d=0$, $\Gamma=1$. При увеличении $d$, знаменатель $d+|F|$ растет, а дробь $\Gamma = \frac{|F|}{d+|F|}$ уменьшается. В пределе при $d \to \infty$, $\Gamma \to 0$. Таким образом, увеличение плавно убывает от 1 до 0.

Ответ: При перемещении предмета от оптического центра рассеивающей линзы до бесконечности, его изображение всегда остается мнимым, прямым и расположенным между линзой и передним фокусом. Изображение перемещается от оптического центра до переднего фокуса линзы. Линейное увеличение при этом плавно уменьшается от 1 до 0, то есть изображение всегда уменьшенное (за исключением положения в центре, где оно равно предмету).