Номер 10, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Сформулируйте свойство касательной плоскости цилиндра.

10. Сформулируйте свойство касательной плоскости цилиндра.

Для полного понимания свойства сначала дадим определение касательной плоскости к цилиндру.
Плоскость называется касательной к цилиндру, если она имеет с боковой поверхностью цилиндра ровно одну общую прямую — образующую. Эта образующая называется линией касания.

Основное свойство (теорема) касательной плоскости цилиндра формулируется следующим образом:
Плоскость, касательная к цилиндру, параллельна оси этого цилиндра.

Доказательство этого свойства:
Пусть плоскость $\alpha$ является касательной к цилиндру. Обозначим ось цилиндра как прямую $l$.
1. Согласно определению, касательная плоскость $\alpha$ проходит через одну из образующих цилиндра. Назовем эту образующую $m$. Таким образом, прямая $m$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $m \subset \alpha$.
2. По определению цилиндрической поверхности, все ее образующие параллельны оси цилиндра. Следовательно, образующая $m$ параллельна оси $l$, то есть $m \parallel l$.
3. Ось цилиндра $l$ не лежит в касательной плоскости $\alpha$. Если предположить обратное, то плоскость $\alpha$ будет пересекать цилиндр (как минимум по двум образующим, если она проходит через ось), а не касаться его, что противоречит условию.
4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости в пространстве: «Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости».
В нашей ситуации прямая $l$ (ось) не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $m$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $l$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $l \parallel \alpha$.
Таким образом, свойство доказано.

Также верна и обратная теорема:
Если плоскость проходит через образующую цилиндра и параллельна его оси, то она является касательной к цилиндру. Учитывая, что любая образующая и так параллельна оси, это можно перефразировать: плоскость, проходящая через образующую цилиндра и не пересекающая его в других точках, является касательной.

Ответ: Плоскость, касательная к цилиндру, параллельна оси этого цилиндра.