Номер 11, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Сформулируйте признак касательной плоскости цилиндра.

Признак касательной плоскости цилиндра

Теорема, выражающая данный признак, формулируется следующим образом: плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащего эту образующую, является касательной к цилиндру.

Развернутое объяснение и доказательство:

Для начала вспомним определение: касательная плоскость к цилиндру — это плоскость, которая имеет с поверхностью цилиндра только одну общую прямую, которая является образующей цилиндра. Все остальные точки плоскости лежат вне цилиндра.

Докажем сформулированный признак. Пусть имеется цилиндр, его образующая $g$ и проходящая через нее плоскость $\alpha$. Пусть $\beta$ — это плоскость осевого сечения цилиндра, которое также содержит образующую $g$. Согласно условию теоремы, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).

Проведем вспомогательную плоскость $\gamma$, перпендикулярную оси цилиндра. Такая плоскость перпендикулярна и всем образующим, в том числе $g$. Плоскость $\gamma$ пересекает цилиндр по окружности (назовем ее $\omega$). Она также пересекает образующую $g$ в точке $M$ (которая, очевидно, лежит на окружности $\omega$), плоскость $\alpha$ — по прямой $a$, и плоскость осевого сечения $\beta$ — по прямой $d$.

Рассмотрим объекты в плоскости сечения $\gamma$: окружность $\omega$, точка $M$ на ней, и две прямые $a$ и $d$, проходящие через $M$. Прямая $d$ является диаметром окружности $\omega$, так как является линией пересечения с осевым сечением. Из условия перпендикулярности плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и того, что секущая плоскость $\gamma$ перпендикулярна их линии пересечения $g$, следует, что прямые $a$ и $d$ также взаимно перпендикулярны ($a \perp d$).

Таким образом, в плоскости $\gamma$ прямая $a$ проходит через точку $M$ на окружности и перпендикулярна диаметру $d$, проведенному в эту точку. Из планиметрии известно, что такая прямая является касательной к окружности $\omega$ в точке $M$.

Это означает, что прямая $a$ имеет с окружностью $\omega$ ровно одну общую точку, $M$. Поскольку данное рассуждение можно применить к любому сечению, перпендикулярному оси, то и вся плоскость $\alpha$ имеет с цилиндром только одну общую прямую — образующую $g$.

Следовательно, плоскость $\alpha$ полностью соответствует определению касательной плоскости к цилиндру.

Ответ: Плоскость является касательной к цилиндру, если она проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащего эту образующую.