Номер 74, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

74. Найдите радиус основания и высоту цилиндра по данным, приведенным на рис. 55.

4

$30^\circ$

Рис. 55

Обозначим высоту цилиндра как $h$, а радиус основания как $r$. Из рисунка видно, что $CK$ — это диагональ сечения цилиндра, проходящего через хорду $CN$ нижнего основания и точку $K$ верхнего основания. Длина этой диагонали $CK = 4$. $KN$ — образующая цилиндра, перпендикулярная плоскости основания. Следовательно, треугольник $KCN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$ ($\angle KNC = 90^\circ$). Угол между диагональю $CK$ и ее проекцией $CN$ на плоскость основания равен $\angle KCN = 30^\circ$.

Высота цилиндра

Высота цилиндра $h$ равна длине образующей $KN$. В прямоугольном треугольнике $KCN$ катет $KN$ является противолежащим углу $\angle KCN = 30^\circ$. Длина катета, противолежащего углу в $30^\circ$, равна половине длины гипотенузы. $h = KN = CK \cdot \sin(30^\circ)$ $h = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2

Радиус основания

Сначала найдем длину хорды $CN$, которая является вторым катетом в треугольнике $KCN$. $CN = CK \cdot \cos(30^\circ)$ $CN = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Теперь рассмотрим основание цилиндра — окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. $OC$ и $ON$ являются радиусами ($OC = ON = r$), поэтому треугольник $OCN$ — равнобедренный. Из рисунка видно, что радиусы $OC$ и $ON$, проведенные к концам хорды $CN$, образуют прямой угол, то есть $\angle CON = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $OCN$ является прямоугольным. По теореме Пифагора: $OC^2 + ON^2 = CN^2$ $r^2 + r^2 = (2\sqrt{3})^2$ $2r^2 = 4 \cdot 3$ $2r^2 = 12$ $r^2 = 6$ $r = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$