Номер 81, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

81. Высота цилиндра равна 16 см, радиус его основания — 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, учитывая, что расстояние между этими плоскостью и осью равно 6 см.

Поскольку секущая плоскость параллельна оси цилиндра, сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая — хорде в основании цилиндра.

Дано: высота цилиндра $h = 16$ см, радиус основания $R = 10$ см, расстояние от оси до плоскости сечения $d = 6$ см.

Сторона сечения, параллельная оси, равна высоте цилиндра, то есть $16$ см.

Найдем вторую сторону сечения, которая является хордой $a$ в круге основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к концу хорды ($R = 10$ см), перпендикуляром от центра круга к хорде ($d = 6$ см), и половиной хорды ($\frac{a}{2}$). В этом треугольнике радиус $R$ является гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу: $10^2 = 6^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выполним вычисления: $100 = 36 + (\frac{a}{2})^2$

Отсюда найдем квадрат половины хорды: $(\frac{a}{2})^2 = 100 - 36 = 64$

Извлекая квадратный корень, получим длину половины хорды: $\frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Следовательно, полная длина хорды $a$ составляет: $a = 2 \times 8 = 16$ см.

Таким образом, сечение является прямоугольником (в данном случае — квадратом) со сторонами $16$ см и $16$ см.

Площадь сечения $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \times h = 16 \text{ см} \times 16 \text{ см} = 256 \text{ см}^2$.

Ответ: $256 \text{ см}^2$.