Номер 82, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

82. Цилиндр, высота которого равна 12 см, а радиус основания — 10 см, пересечен такой плоскостью, параллельной оси цилиндра, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Пусть дан цилиндр, высота которого $h = 12$ см, а радиус основания $r = 10$ см.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$, а две другие — хорде, которую отсекает плоскость на основании цилиндра.

По условию, сечение является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, длина хорды в основании цилиндра равна высоте цилиндра. Обозначим длину хорды как $a$.
$a = h = 12$ см.

Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости — это расстояние от центра основания (окружности) до хорды $a$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим поперечное сечение цилиндра, которое является кругом с центром $O$ и радиусом $r = 10$ см. В этом круге проведена хорда длиной $a = 12$ см. Расстояние $d$ от центра $O$ до хорды является высотой равнобедренного треугольника, основанием которого служит хорда, а боковыми сторонами — радиусы, проведенные к концам хорды.

Эта высота делит хорду пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это радиус $r$, один катет — это половина хорды $\frac{a}{2}$, а второй катет — искомое расстояние $d$.
Половина хорды равна: $\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Применим теорему Пифагора:
$r^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
Подставим известные значения:
$10^2 = d^2 + 6^2$
$100 = d^2 + 36$
$d^2 = 100 - 36$
$d^2 = 64$
$d = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости составляет 8 см.

Ответ: 8 см.