Номер 84, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

84. Есть цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а высота — $h$. Точки $A$ и $B$ на окружностях оснований цилиндра выбраны так, что прямая $AB$ находится на расстоянии $d$ от оси цилиндра. Найдите:

a) $h$, учитывая, что $r = 10$ дм, $d = 8$ дм, $AB = 13$ дм;

б) $d$, учитывая, что $h = 12$ см, $r = 10$ см, $AB = 20$ см.

Для решения задачи введем вспомогательные построения. Пусть точка А находится на окружности верхнего основания цилиндра, а точка B — на окружности нижнего. Спроецируем точку А перпендикулярно на плоскость нижнего основания и назовем эту проекцию А'. Точка А' будет лежать на окружности нижнего основания, так же как и точка B. Отрезок А'B является проекцией отрезка AB на плоскость основания.

Рассмотрим треугольник AA'B. Он является прямоугольным, так как AA' — перпендикуляр к плоскости основания. Катет AA' равен высоте цилиндра h, а катет A'B — это длина хорды в окружности основания. Гипотенуза этого треугольника — отрезок AB. По теореме Пифагора имеем:

$AB^2 = (A'B)^2 + h^2$

Отсюда мы можем выразить квадрат длины хорды A'B:

$(A'B)^2 = AB^2 - h^2$

Расстояние d от прямой AB до оси цилиндра равно расстоянию от центра основания (точки O) до хорды A'B. Рассмотрим равнобедренный треугольник OA'B, образованный центром основания и концами хорды. Его боковые стороны OA' и OB равны радиусу цилиндра r. Расстояние d является высотой этого треугольника, опущенной на основание A'B. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом r (гипотенуза), расстоянием d (катет) и половиной хорды $A'B/2$ (второй катет), по теореме Пифагора получаем:

$r^2 = d^2 + \left(\frac{A'B}{2}\right)^2$

Подставим в эту формулу выражение для $(A'B)^2$:

$r^2 = d^2 + \frac{(A'B)^2}{4}$

$r^2 = d^2 + \frac{AB^2 - h^2}{4}$

Эта общая формула связывает все параметры задачи. Используем ее для решения обоих пунктов.

а) Найдите h, учитывая, что r = 10 дм, d = 8 дм, AB = 13 дм;

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$10^2 = 8^2 + \frac{13^2 - h^2}{4}$

$100 = 64 + \frac{169 - h^2}{4}$

Перенесем 64 в левую часть:

$100 - 64 = \frac{169 - h^2}{4}$

$36 = \frac{169 - h^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$36 \cdot 4 = 169 - h^2$

$144 = 169 - h^2$

Отсюда находим $h^2$:

$h^2 = 169 - 144$

$h^2 = 25$

Так как высота является положительной величиной, извлекаем корень:

$h = \sqrt{25} = 5$ дм.

Ответ: 5 дм.

б) Найдите d, учитывая, что h = 12 см, r = 10 см, AB = 20 см.

Снова используем ту же формулу, подставляя новые значения:

$r^2 = d^2 + \frac{AB^2 - h^2}{4}$

$10^2 = d^2 + \frac{20^2 - 12^2}{4}$

$100 = d^2 + \frac{400 - 144}{4}$

$100 = d^2 + \frac{256}{4}$

$100 = d^2 + 64$

Отсюда находим $d^2$:

$d^2 = 100 - 64$

$d^2 = 36$

Так как расстояние является положительной величиной, извлекаем корень:

$d = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.