Номер 87, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

87. Через образующую цилиндра проведено две такие взаимно перпендикулярные плоскости, что площади полученных сечений равны $S$ каждая. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра (и длина его образующей), а $R$ — радиус его основания.

Через образующую цилиндра проведены две плоскости. Сечения, образованные этими плоскостями, являются прямоугольниками. Одна сторона каждого прямоугольника — это образующая $h$, а другая — хорда в основании цилиндра. Обозначим длины этих хорд как $a_1$ и $a_2$.

Площади этих сечений равны $S_1 = h \cdot a_1$ и $S_2 = h \cdot a_2$. По условию задачи, площади обоих сечений равны $S$:

$S_1 = S_2 = S$

Следовательно, $h \cdot a_1 = h \cdot a_2$, откуда следует, что длины хорд равны: $a_1 = a_2$. Обозначим эту длину как $a$.

Плоскости сечений взаимно перпендикулярны. Так как обе плоскости проходят через одну и ту же образующую, угол между плоскостями равен углу между хордами $a_1$ и $a_2$ в плоскости основания. Таким образом, хорды $a_1$ и $a_2$ перпендикулярны.

Рассмотрим основание цилиндра — круг радиуса $R$. В этом круге из одной точки на окружности проведены две равные и взаимно перпендикулярные хорды. Эти хорды вместе с отрезком, соединяющим их концы, образуют вписанный в окружность прямоугольный равнобедренный треугольник. Гипотенуза этого треугольника является диаметром окружности основания, то есть ее длина равна $2R$.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

$a^2 + a^2 = (2R)^2$

$2a^2 = 4R^2$

$a^2 = 2R^2$

Отсюда находим длину хорды $a = R\sqrt{2}$.

Теперь выразим площадь сечения $S$ через $h$ и $R$:

$S = h \cdot a = h \cdot R\sqrt{2}$

Нам нужно найти площадь осевого сечения цилиндра. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру основания $2R$. Обозначим его площадь как $S_{осевое}$.

$S_{осевое} = h \cdot (2R) = 2hR$

Из выражения для площади $S$ найдем произведение $hR$:

$S = hR\sqrt{2} \implies hR = \frac{S}{\sqrt{2}}$

Подставим это выражение в формулу для площади осевого сечения:

$S_{осевое} = 2 \cdot (hR) = 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{2}} = \frac{2S}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$S_{осевое} = \frac{2S \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2S\sqrt{2}}{2} = S\sqrt{2}$

Ответ: $S\sqrt{2}$.