Номер 92, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

92. Плоскость, параллельная оси цилиндра с высотой 10 дм, пересекает его по прямоугольнику с площадью 240 $ \text{дм}^2 $. Найдите боковую поверхность цилиндра, учитывая, что расстояние от оси цилиндра до плоскости равно 9 дм.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания цилиндра, а затем вычислить площадь его боковой поверхности.

Дано:
Высота цилиндра, $h = 10$ дм.
Площадь прямоугольного сечения, $S_{сеч} = 240$ дм².
Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, $d = 9$ дм.

Найти:
Площадь боковой поверхности цилиндра, $S_{бок}$.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi R h$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота. Высота $h$ нам известна, значит, для решения задачи необходимо найти радиус $R$.

2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона, обозначим ее $a$, является хордой окружности основания цилиндра.

3. Площадь этого прямоугольника-сечения равна $S_{сеч} = a \cdot h$. Из этой формулы мы можем найти длину хорды $a$:

$a = \frac{S_{сеч}}{h} = \frac{240 \text{ дм}^2}{10 \text{ дм}} = 24$ дм.

4. Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг с радиусом $R$. В этом круге проведена хорда $a = 24$ дм. Расстояние от центра круга до этой хорды по условию равно $d = 9$ дм. Радиус $R$, проведенный в конец хорды, расстояние $d$ и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза – это радиус $R$;
• один катет – это расстояние $d$;
• второй катет – это половина хорды $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$.

5. Вычислим радиус $R$:

$\frac{a}{2} = \frac{24}{2} = 12$ дм.

$R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ дм.

6. Теперь, зная радиус $R = 15$ дм и высоту $h = 10$ дм, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 15 \cdot 10 = 300\pi$ дм².

Ответ: $300\pi$ дм².