Номер 97, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

97. Боковая поверхность цилиндра равна площади круга, описанного вокруг его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi rh$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Его стороны равны диаметру основания ($2r$) и высоте цилиндра ($h$).

Круг, описанный вокруг этого прямоугольника, имеет диаметр, равный диагонали прямоугольника. Найдем диагональ ($d$) по теореме Пифагора: $d^2 = (2r)^2 + h^2 = 4r^2 + h^2$

Радиус описанного круга ($R_{опис}$) равен половине его диаметра: $R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2}$

Площадь этого круга ($S_{опис}$) вычисляется по формуле: $S_{опис} = \pi R_{опис}^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi(4r^2 + h^2)}{4}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного вокруг его осевого сечения: $S_{бок} = S_{опис}$ $2\pi rh = \frac{\pi(4r^2 + h^2)}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно искомого отношения $\frac{r}{h}$. Сократим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 4: $8rh = 4r^2 + h^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $4r^2 - 8rh + h^2 = 0$

Поскольку высота $h$ не может быть равна нулю, разделим обе части уравнения на $h^2$: $4\frac{r^2}{h^2} - 8\frac{r}{h} + 1 = 0$ $4\left(\frac{r}{h}\right)^2 - 8\left(\frac{r}{h}\right) + 1 = 0$

Пусть $x = \frac{r}{h}$. Тогда уравнение примет вид: $4x^2 - 8x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 64 - 16 = 48$

Корни уравнения равны: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 4: $x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, мы получили два возможных значения для отношения радиуса цилиндра к его высоте. Оба значения положительны, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$, поэтому оба являются решениями задачи.

Ответ: $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ или $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.