Номер 104, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

104. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ и противолежащим катетом, равным $8 \text{ см}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, учитывая, что его осевым сечением является квадрат.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, обозначим его ABC, где $∠C=90°$. По условию, один из острых углов равен 30°, пусть это будет $∠A = 30°$. Катет, противолежащий этому углу, равен 8 см, следовательно, катет $a = BC = 8$ см.

Найдем остальные стороны треугольника ABC. Второй острый угол равен $∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°$. Гипотенузу $c = AB$ можно найти через синус угла A: $\sin(A) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(30°)} = \frac{8}{1/2} = 16$ см. Второй катет $b = AC$ можно найти через тангенс угла A: $\tan(A) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{\tan(30°)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

Цилиндр вписан в призму, следовательно, его основание (окружность) вписано в основание призмы (прямоугольный треугольник). Радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC. Формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: $r = \frac{a+b-c}{2}$ Подставим найденные значения сторон: $r = \frac{8 + 8\sqrt{3} - 16}{2} = \frac{8\sqrt{3} - 8}{2} = 4(\sqrt{3} - 1)$ см.

По условию задачи, осевым сечением цилиндра является квадрат. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $d=2r$. Так как сечение является квадратом, его стороны равны: $H = d = 2r$ Найдем высоту цилиндра $H$: $H = 2 \cdot r = 2 \cdot 4(\sqrt{3} - 1) = 8(\sqrt{3} - 1)$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi r H$ Подставим наши значения $r$ и $H$: $S_{бок} = 2\pi \cdot 4(\sqrt{3} - 1) \cdot 8(\sqrt{3} - 1) = 64\pi (\sqrt{3} - 1)^2$ Раскроем квадрат разности: $(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$ Подставим полученное выражение обратно в формулу площади: $S_{бок} = 64\pi (4 - 2\sqrt{3}) = 64\pi \cdot 2(2 - \sqrt{3}) = 128\pi(2 - \sqrt{3})$ см².

Ответ: $128\pi(2 - \sqrt{3})$ см².