Номер 108, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

108. Определите, можно ли вписать цилиндр в прямую призму, если ее основанием является:

а) треугольник;

в) прямоугольник;

б) ромб;

г) трапеция.

Цилиндр можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в многоугольник, являющийся основанием призмы, можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет радиусом основания цилиндра, а высота цилиндра будет равна высоте призмы. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) треугольник: В любой треугольник можно вписать окружность. Центр такой окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, в любую прямую призму, основанием которой является треугольник, можно вписать цилиндр.
Ответ: да, можно.

в) прямоугольник: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это условие записывается как $a+a = b+b$, что равносильно $2a=2b$, или $a=b$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом. Таким образом, вписать цилиндр в прямую призму с прямоугольным основанием можно только если это основание является квадратом.
Ответ: можно, только если основание призмы — квадрат.

б) ромб: Применим критерий для вписанной окружности к ромбу. У ромба все стороны равны. Пусть длина стороны ромба равна $a$. Тогда условие равенства сумм противоположных сторон принимает вид $a+a = a+a$, или $2a=2a$. Это тождество верно для любого ромба. Значит, в любой ромб можно вписать окружность, и, следовательно, в любую прямую призму с ромбом в основании можно вписать цилиндр.
Ответ: да, можно.

г) трапеция: В трапецию, как и в любой другой четырехугольник, можно вписать окружность только при условии, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Если $a$ и $c$ — длины оснований трапеции, а $b$ и $d$ — длины ее боковых сторон, то для возможности вписать окружность должно выполняться равенство $a+c = b+d$. Это условие справедливо не для каждой трапеции. Следовательно, вписать цилиндр в прямую призму, основанием которой является трапеция, можно только если сумма длин оснований этой трапеции равна сумме длин ее боковых сторон.
Ответ: можно, только если сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.