Номер 102, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

102. Верно ли, что:

а) плоскость, определенная осью цилиндра и образующей, по которой другая плоскость касается цилиндра, перпендикулярна касательной плоскости;

б) плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости, определенной этими образующей и осью цилиндра, является касательной плоскостью цилиндра?

а) Утверждение верно. Давайте разберемся почему.
Пусть $\alpha$ — касательная плоскость к цилиндру, и она касается его по образующей $g$. Пусть $l$ — ось цилиндра. Рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через ось $l$ и образующую $g$. Поскольку $l$ и $g$ параллельны, такая плоскость определена однозначно и является осевым сечением цилиндра.
Нам нужно доказать, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$.
Линия пересечения этих двух плоскостей — это образующая $g$. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки.
Возьмем на образующей $g$ произвольную точку $M$. Проведем через точку $M$ плоскость $\pi$, перпендикулярную оси цилиндра $l$ (и, следовательно, перпендикулярную образующей $g$).
Плоскость $\pi$ пересекает цилиндр по окружности. Обозначим центр этой окружности как $O$ (он лежит на оси $l$), а ее радиус как $R$.
Пересечением касательной плоскости $\alpha$ с плоскостью $\pi$ будет прямая $a$, которая является касательной к этой окружности в точке $M$.
Пересечением осевого сечения $\beta$ с плоскостью $\pi$ будет прямая $b$, которая проходит через центр окружности $O$ и точку $M$. То есть прямая $b$ содержит радиус $OM$.
Из планиметрии известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, прямая $b$ (содержащая радиус $OM$) перпендикулярна прямой $a$ (касательной). Угол между ними равен $90^\circ$.
Поскольку угол между прямыми $a$ и $b$ и есть угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, верно.

б) Утверждение верно.
Пусть $g$ — образующая цилиндра, $l$ — его ось. Плоскость, определенная $l$ и $g$, — это осевое сечение, назовем его $\beta$.
Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая проходит через образующую $g$ и перпендикулярна плоскости $\beta$. Нам нужно доказать, что $\gamma$ является касательной плоскостью к цилиндру.
По определению, плоскость является касательной к цилиндру, если она проходит через его образующую и не имеет с ним других общих точек. Это равносильно тому, что плоскость содержит образующую и касательную к окружности основания в точке пересечения этой образующей с основанием.
Как и в предыдущем пункте, проведем через произвольную точку $M$ на образующей $g$ плоскость $\pi$, перпендикулярную $g$. Плоскость $\pi$ пересекает цилиндр по окружности с центром $O$ на оси $l$.
Плоскость $\beta$ (осевое сечение) пересекает $\pi$ по прямой, содержащей радиус $OM$.
Плоскость $\gamma$ пересекает $\pi$ по некоторой прямой $c$, проходящей через точку $M$.
По условию, $\gamma \perp \beta$, и их линия пересечения — $g$. Угол между плоскостями $\gamma$ и $\beta$ равен углу между их линиями пересечения с перпендикулярной им плоскостью $\pi$. То есть, угол между прямой $c$ и прямой, содержащей радиус $OM$, равен $90^\circ$.
Это означает, что прямая $c$ перпендикулярна радиусу $OM$ в точке $M$, лежащей на окружности. Следовательно, прямая $c$ является касательной к этой окружности в точке $M$.
Поскольку плоскость $\gamma$ проходит через образующую $g$ и касательную $c$ к окружности сечения в точке $M$, то, по определению, $\gamma$ является касательной плоскостью к цилиндру.

Ответ: да, верно.