Номер 106, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

106. В цилиндр, радиус основания и высота которого равны, вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение:

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. По условию задачи, эти величины равны, то есть $R=H$.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Это означает, что основания призмы (правильные шестиугольники) вписаны в окружности оснований цилиндра, а высота призмы равна высоте цилиндра $H$.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону основания призмы буквой $a$. Таким образом, $a = R$.

Боковая грань прямой призмы является прямоугольником. В нашем случае стороны этого прямоугольника — это сторона основания призмы $a$ и высота призмы $H$. Так как $a=R$ и $H=R$, все боковые грани являются квадратами со стороной $R$.

Рассмотрим одну из боковых граней, назовем ее вершины $A$, $B$, $B_1$, $A_1$. Пусть $AB$ — сторона нижнего основания, а $A_1B_1$ — сторона верхнего. Тогда $AA_1$ и $BB_1$ — боковые ребра призмы. Длины сторон грани: $AB = a = R$ и $AA_1 = H = R$.

Проведем диагональ этой грани, например, $A_1B$. Нам нужно найти угол между этой диагональю и осью цилиндра.

Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Она параллельна всем боковым ребрам правильной вписанной призмы. В частности, ось цилиндра параллельна ребру $AA_1$.

Угол между скрещивающимися прямыми (диагональю $A_1B$ и осью цилиндра) равен углу между одной из этих прямых и любой прямой, которая параллельна второй прямой и пересекает первую. Мы можем выбрать ребро $AA_1$ в качестве такой прямой, так как оно параллельно оси цилиндра и пересекает диагональ $A_1B$ в точке $A_1$.

Таким образом, искомый угол — это угол между диагональю $A_1B$ и ребром $AA_1$, то есть угол $\angle BA_1A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BA_1A$. Так как призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и стороне $AB$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\triangle BA_1A$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $A$ ($\angle A_1AB = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике мы можем найти тангенс угла $\angle BA_1A$ как отношение противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AA_1$:

$\tan(\angle BA_1A) = \frac{AB}{AA_1}$

Мы уже определили, что $AB = a = R$ и $AA_1 = H = R$. Подставим эти значения:

$\tan(\angle BA_1A) = \frac{R}{R} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.