Номер 111, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

111. Определите, в какую прямую призму можно вписать цилиндр, если эта призма:

а) четырехугольная;

б) шестиугольная.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в основание этой призмы можно было вписать окружность. В этом случае основания цилиндра будут окружностями, вписанными в основания призмы, а боковая поверхность цилиндра будет касаться боковых граней призмы. Высота вписанного цилиндра будет равна высоте призмы.

Рассмотрим это условие для каждого случая.

а) четырехугольная;

Чтобы вписать цилиндр в прямую четырехугольную призму, в ее основание — четырехугольник — должна вписываться окружность. Такой четырехугольник называется описанным.

Согласно теореме Пито, окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Если стороны четырехугольника, взятые в последовательном порядке, имеют длины $a, b, c, d$, то для них должно выполняться равенство:

$a + c = b + d$

Это условие выполняется не для любого четырехугольника. Например, в прямоугольник можно вписать окружность, только если он является квадратом. В параллелограмм — только если он является ромбом. Таким образом, вписать цилиндр можно не в любую прямую четырехугольную призму, а лишь в ту, у которой основание является описанным четырехугольником.

Ответ: Цилиндр можно вписать в прямую четырехугольную призму, если ее основанием является четырехугольник, в который можно вписать окружность. Это возможно, если суммы длин противоположных сторон основания равны.

б) шестиугольная.

Чтобы вписать цилиндр в прямую шестиугольную призму, в ее основание — шестиугольник — должна вписываться окружность.

По обобщенной теореме Пито (которая является следствием теоремы Брианшона), окружность можно вписать в выпуклый шестиугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его сторон, взятых через одну, равны. Если стороны шестиугольника, взятые в последовательном порядке, имеют длины $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, то для них должно выполняться равенство:

$a_1 + a_3 + a_5 = a_2 + a_4 + a_6$

Это условие выполняется не для любого шестиугольника. Однако, важным частным случаем является правильный шестиугольник, у которого все стороны равны. Если длина каждой стороны равна $a$, то условие очевидно выполняется: $a + a + a = a + a + a$, или $3a = 3a$. Следовательно, в любую прямую призму, основанием которой является правильный шестиугольник, можно вписать цилиндр.

Ответ: Цилиндр можно вписать в прямую шестиугольную призму, если ее основанием является шестиугольник, в который можно вписать окружность. Это возможно, если суммы длин сторон основания, взятых через одну, равны. В частности, в любую прямую правильную шестиугольную призму можно вписать цилиндр.