Номер 109, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

а) треугольник; б) ромб; в) прямоугольник; г) трапеция.

109. Определите, можно ли описать цилиндр около прямой призмы, если ее основанием является:

а) треугольник;

б) ромб;

в) прямоугольник;

г) трапеция.

Для того чтобы около прямой призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы около основания призмы можно было описать окружность. Это означает, что многоугольник, лежащий в основании призмы, должен быть вписанным в окружность. Основаниями описанного цилиндра будут как раз эти окружности. Рассмотрим каждый случай.

а) треугольник
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр этой окружности (центр описанной окружности) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Так как для любого треугольника существует описанная окружность, то и около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр.
Ответ: да, можно.

б) ромб
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У ромба противоположные углы равны. Пусть углы ромба равны $ \alpha $ и $ \beta $, где $ \alpha + \beta = 180^\circ $. Чтобы ромб можно было вписать в окружность, должно выполняться условие $ \alpha + \alpha = 180^\circ $, что дает $ \alpha = 90^\circ $. Если у ромба хотя бы один угол прямой, то все его углы прямые, и такой ромб является квадратом. Таким образом, описать цилиндр можно только около прямой призмы, основанием которой является квадрат. Для произвольного ромба, не являющегося квадратом, это сделать нельзя.
Ответ: нет, не всегда; можно только в том случае, если ромб является квадратом.

в) прямоугольник
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Сумма любых двух противоположных углов прямоугольника равна $ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это означает, что любой прямоугольник можно вписать в окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей. Следовательно, около любой прямой призмы с прямоугольным основанием можно описать цилиндр.
Ответ: да, можно.

г) трапеция
Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной (или равнобокой), то есть трапецией, у которой боковые стороны равны. Только у равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Для произвольной трапеции это условие не выполняется. Следовательно, описать цилиндр можно только около прямой призмы, основанием которой является равнобедренная трапеция.
Ответ: нет, не всегда; можно только в том случае, если трапеция является равнобедренной.