Номер 105, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

105. Найдите полную поверхность цилиндра, вписанного в призму, по данным, приведенным на рисунке:

а) 61; б) 62.

а) 61

Для нахождения полной поверхности цилиндра, вписанного в призму, воспользуемся формулой:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$

где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в прямую призму, его высота $h$ равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (многоугольник).

В данном случае призма является прямой треугольной призмой, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами $a=6$, $b=8$ и гипотенузой $c=10$. Высота призмы $H=5$.

1. Находим высоту цилиндра:

$h = H = 5$.

2. Находим радиус основания цилиндра $r$. Он равен радиусу окружности, вписанной в прямоугольный треугольник в основании призмы. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Подставляем значения сторон треугольника:

$r = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Вычисляем полную поверхность цилиндра, зная $r=2$ и $h=5$:

$S_{полн} = 2\pi r(r+h) = 2\pi \cdot 2 \cdot (2+5) = 4\pi \cdot 7 = 28\pi$.

Ответ: $28\pi$.

б) 62

В этом случае цилиндр вписан в прямую правильную шестиугольную призму. Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра вписано в правильный шестиугольник в основании призмы.

По данным с рисунка, сторона правильного шестиугольника в основании $a=4$, а высота призмы $H=5$.

1. Находим высоту цилиндра:

$h = H = 5$.

2. Находим радиус основания цилиндра $r$. Он равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус (апофема шестиугольника) вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение стороны $a=4$:

$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

3. Вычисляем полную поверхность цилиндра с радиусом $r=2\sqrt{3}$ и высотой $h=5$. Для удобства рассчитаем площади оснований и боковой поверхности отдельно.

Площадь двух оснований:

$2S_{осн} = 2 \cdot \pi r^2 = 2\pi (2\sqrt{3})^2 = 2\pi (4 \cdot 3) = 2\pi \cdot 12 = 24\pi$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi (2\sqrt{3}) \cdot 5 = 20\pi\sqrt{3}$.

Полная поверхность цилиндра равна сумме этих площадей:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 24\pi + 20\pi\sqrt{3}$.

Ответ: $24\pi + 20\pi\sqrt{3}$.