Номер 98, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

98*. Найдите высоту и радиус цилиндра, у которого площадь боковой поверхности наибольшая, учитывая, что периметр осевого сечения цилиндра равен $2p$.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2R$ и высоте $h$.

Периметр этого прямоугольника, согласно условию, равен $2p$. Запишем формулу для периметра осевого сечения:

$P_{ос} = 2(2R + h)$

Приравняем его к заданному значению:

$2(2R + h) = 2p$

Разделив обе части на 2, получим:

$2R + h = p$

Из этого соотношения выразим высоту $h$ через радиус $R$:

$h = p - 2R$

Поскольку размеры цилиндра ($h$ и $R$) должны быть положительными, то $R > 0$ и $h > 0$. Из условия $h > 0$ следует, что $p - 2R > 0$, откуда $2R < p$ и $R < \frac{p}{2}$. Таким образом, мы ищем решение в интервале $0 < R < \frac{p}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi Rh$

Чтобы найти наибольшее значение площади, подставим в эту формулу выражение для $h$, полученное ранее. Это позволит нам получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $R$:

$S(R) = 2\pi R(p - 2R) = 2\pi pR - 4\pi R^2$

Функция $S(R)$ является квадратичной функцией от $R$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $R^2$ отрицателен ($-4\pi < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координату вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -4\pi$, $b = 2\pi p$. Найдем значение $R$, при котором площадь максимальна:

$R = -\frac{2\pi p}{2(-4\pi)} = -\frac{2\pi p}{-8\pi} = \frac{p}{4}$

Это значение $R = \frac{p}{4}$ принадлежит найденному ранее интервалу $0 < R < \frac{p}{2}$, следовательно, оно является искомым.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $R$ в выражение для $h$:

$h = p - 2R = p - 2\left(\frac{p}{4}\right) = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра будет наибольшей, если его высота равна диаметру основания ($h = \frac{p}{2}$ и $2R = 2\frac{p}{4} = \frac{p}{2}$), то есть когда осевое сечение является квадратом.

Ответ: высота цилиндра равна $\frac{p}{2}$, а радиус равен $\frac{p}{4}$.