Номер 93, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

93. На окружностях оснований цилиндра, высота и радиус основания которого соответственно равны 20 см и 70 см, выбраны точки A, B, C, D, являющиеся вершинами квадрата (рис. 57). Найдите его сторону.

Рис. 57

Пусть искомая сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Согласно условию, высота цилиндра $h = 20$ см, а радиус его основания $r = 70$ см.

Стороны $AD$ и $BC$ квадрата являются хордами в окружностях нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно. Длина каждой из этих хорд равна $a$.

Рассмотрим одну из этих хорд, например, $AD$ в нижнем основании. Пусть $O_1$ — центр этого основания. Расстояние от центра окружности до хорды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра на хорду. Обозначим это расстояние как $d$. В этом треугольнике гипотенуза — это радиус $r$, а катеты — половина хорды $a/2$ и расстояние $d$. По теореме Пифагора: $d^2 + (a/2)^2 = r^2$ $d^2 = r^2 - a^2/4$

Теперь рассмотрим одну из "боковых" сторон квадрата, например, $AB$. Эта сторона соединяет точку $A$ на нижнем основании с точкой $B$ на верхнем. Спроецируем точку $B$ перпендикулярно на плоскость нижнего основания, получив точку $B'$. Длина проекции $BB'$ равна высоте цилиндра $h$. Треугольник $ABB'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B'$. Сторона квадрата $AB$ является его гипотенузой. По теореме Пифагора для этого треугольника: $AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$ $a^2 = (AB')^2 + h^2$

Проекцией квадрата $ABCD$ на плоскость нижнего основания является фигура $AB'C'D$. Так как $AD$ и $BC$ параллельны, их проекции $AD$ и $B'C'$ также параллельны. Из рисунка видно, что хорды $AD$ и $BC$ расположены по разные стороны от оси цилиндра, следовательно, их проекции $AD$ и $B'C'$ также находятся по разные стороны от центра основания $O_1$. Расстояние между этими параллельными проекциями равно длине отрезка $AB'$. Это расстояние равно сумме расстояний от центра до каждой из хорд, то есть $AB' = d + d = 2d$.

Возведя в квадрат, получаем $(AB')^2 = (2d)^2 = 4d^2$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $a$: 1. $d^2 = r^2 - a^2/4$ 2. $a^2 = (AB')^2 + h^2$ 3. $(AB')^2 = 4d^2$

Подставим $4d^2$ из уравнения (3) в уравнение (2): $a^2 = 4d^2 + h^2$

Теперь подставим выражение для $d^2$ из уравнения (1) в полученное уравнение: $a^2 = 4(r^2 - a^2/4) + h^2$ $a^2 = 4r^2 - a^2 + h^2$

Перенесем $a^2$ в левую часть и подставим числовые значения $r=70$ и $h=20$: $2a^2 = 4r^2 + h^2$ $2a^2 = 4 \cdot 70^2 + 20^2$ $2a^2 = 4 \cdot 4900 + 400$ $2a^2 = 19600 + 400$ $2a^2 = 20000$ $a^2 = 10000$ $a = \sqrt{10000} = 100$ см.

Ответ: 100 см.