Номер 95, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

95. Учитывая, что один цилиндр получен вращением прямоугольника $ABCD$ вокруг прямой $AB$, другой — вращением того же прямоугольника вокруг прямой $BC$:

а) докажите, что боковые поверхности этих цилиндров равны;

б) найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, учитывая, что $AB = p$, $BC = q$.

а) Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=p$ и $BC=q$. Рассмотрим первый цилиндр, который получен вращением прямоугольника вокруг прямой $AB$. Для этого цилиндра высота $h_1$ равна длине стороны $AB$, то есть $h_1 = p$, а радиус основания $r_1$ равен длине стороны $BC$, то есть $r_1 = q$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Следовательно, для первого цилиндра площадь боковой поверхности равна $S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi qp$. Теперь рассмотрим второй цилиндр, полученный вращением того же прямоугольника вокруг прямой $BC$. Для этого цилиндра высота $h_2$ равна длине стороны $BC$, то есть $h_2 = q$, а радиус основания $r_2$ равен длине стороны $AB$, то есть $r_2 = p$. Площадь его боковой поверхности $S_{бок2}$ равна $S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi pq$. Сравнивая площади боковых поверхностей, получаем $S_{бок1} = 2\pi qp$ и $S_{бок2} = 2\pi pq$. Поскольку умножение коммутативно ($qp = pq$), то $S_{бок1} = S_{бок2}$. Таким образом, доказано, что боковые поверхности этих цилиндров равны. Ответ: Боковые поверхности цилиндров равны, так как площадь каждой из них равна $2\pi pq$.

б) Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн} = \pi r^2$ — это площадь основания. Для первого цилиндра (вращение вокруг $AB$) мы имеем высоту $h_1 = p$ и радиус $r_1 = q$. Его полная поверхность равна: $S_{полн1} = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2 = 2\pi qp + 2\pi q^2 = 2\pi q(p+q)$. Для второго цилиндра (вращение вокруг $BC$) мы имеем высоту $h_2 = q$ и радиус $r_2 = p$. Его полная поверхность равна: $S_{полн2} = 2\pi r_2 h_2 + 2\pi r_2^2 = 2\pi pq + 2\pi p^2 = 2\pi p(q+p)$. Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей этих двух цилиндров: $\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{2\pi q(p+q)}{2\pi p(p+q)}$. Поскольку $p$ и $q$ являются длинами сторон прямоугольника, они представляют собой положительные числа, поэтому $p > 0$, $q > 0$, и, следовательно, $(p+q) \ne 0$. Мы можем сократить общие множители $2\pi$ и $(p+q)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем: $\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{q}{p}$. Ответ: $\frac{q}{p}$.