Номер 89, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

89. Найдите радиус основания цилиндра с полной поверхностью $288\pi \text{ см}^2$ и его высоту, учитывая, что она на $12 \text{ см}$ больше радиуса основания.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$

Из условия задачи нам известно:
1) Площадь полной поверхности $S_{полн} = 288\pi$ см².
2) Высота на 12 см больше радиуса: $h = r + 12$.

Подставим выражение для высоты $h$ из второго условия в формулу площади полной поверхности:
$S_{полн} = 2\pi r(r + (r + 12))$
$S_{полн} = 2\pi r(2r + 12)$

Теперь подставим известное значение площади $S_{полн}$ и решим получившееся уравнение относительно $r$:
$288\pi = 2\pi r(2r + 12)$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы упростить его:
$144 = r(2r + 12)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$144 = 2r^2 + 12r$
$2r^2 + 12r - 144 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:
$r^2 + 6r - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$
$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$

Теперь найдем корни уравнения:
$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$
$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку радиус является геометрической величиной, он не может быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем положительный корень $r = 6$.
Таким образом, радиус основания цилиндра равен 6 см.

Теперь, зная радиус, найдем высоту цилиндра по формуле $h = r + 12$:
$h = 6 + 12 = 18$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра равен 6 см, высота цилиндра равна 18 см.