Номер 85, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

85. Через одну образующую цилиндра проведены две секущие плоскости, из которых одна проходит через ось цилиндра под углом $\phi$ к другой. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями.

Пусть $h$ — высота цилиндра (и длина его образующей), а $R$ — радиус его основания. В задаче рассматриваются два сечения, проходящие через одну и ту же образующую.

Первая секущая плоскость проходит через ось цилиндра. Сечение, образованное этой плоскостью, является осевым сечением и представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая — диаметру основания $2R$. Обозначим площадь этого осевого сечения как $S_1$.
$S_1 = 2R \cdot h$

Вторая секущая плоскость также проходит через ту же образующую и образует с первой плоскостью угол $\phi$. Сечение, образованное этой плоскостью, также является прямоугольником. Одна его сторона равна высоте цилиндра $h$. Другая сторона — это хорда основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $d$, а площадь этого сечения как $S_2$.

Чтобы найти длину хорды $d$, рассмотрим вид на основание цилиндра. Основание — это круг радиуса $R$. Осевое сечение пересекает основание по диаметру длиной $2R$. Второе сечение пересекает основание по хорде $d$. Так как обе плоскости проходят через одну образующую, их следы на основании (диаметр и хорда) выходят из одной точки на окружности. Угол между секущими плоскостями равен углу между их следами на плоскости основания, то есть $\phi$.

Рассмотрим треугольник в основании, образованный диаметром, хордой $d$ и хордой, соединяющей их другие концы. Так как одна из сторон этого треугольника — диаметр, то треугольник является прямоугольным (угол, опирающийся на диаметр, прямой). Диаметр $2R$ является гипотенузой, а хорда $d$ — катетом, прилежащим к углу $\phi$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\phi) = \frac{d}{2R}$
Следовательно, длина хорды $d = 2R \cos(\phi)$.

Теперь можем найти площадь второго сечения $S_2$:
$S_2 = d \cdot h = (2R \cos(\phi)) \cdot h = 2Rh \cos(\phi)$

Задача просит найти отношение площадей сечений. В зависимости от того, площадь какого сечения является делимым, а какого — делителем, возможны два варианта ответа.
Отношение площади второго сечения к площади осевого сечения:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2Rh \cos(\phi)}{2Rh} = \cos(\phi)$
Отношение площади осевого сечения к площади второго сечения:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2Rh}{2Rh \cos(\phi)} = \frac{1}{\cos(\phi)}$

Ответ: Отношение площадей сечений равно $\cos(\phi)$ или $\frac{1}{\cos(\phi)}$.