Номер 79, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

79. Осевые сечения двух цилиндров равны. Можно ли утверждать, что равны и высоты этих цилиндров?

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. Такое сечение всегда является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — диаметру его основания ($d = 2r$).

Пусть даны два цилиндра. Обозначим параметры первого цилиндра как $h_1$ (высота) и $r_1$ (радиус основания). Его осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $h_1$ и $2r_1$.

Параметры второго цилиндра — $h_2$ и $r_2$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h_2$ и $2r_2$.

По условию, осевые сечения равны. Равенство геометрических фигур означает их конгруэнтность. Два прямоугольника конгруэнтны, если их наборы сторон совпадают. Это означает, что пара чисел {$h_1$, $2r_1$} должна быть такой же, как и пара {$h_2$, $2r_2$}. Здесь возможны два варианта:

1. Стороны прямоугольников соответствуют друг другу напрямую: $h_1 = h_2$ и $2r_1 = 2r_2$. В этом случае высоты цилиндров действительно равны, как и их диаметры. Сами цилиндры при этом также равны.

2. Стороны прямоугольников соответствуют друг другу "крест-накрест": $h_1 = 2r_2$ и $2r_1 = h_2$. В этом случае высота первого цилиндра равна диаметру второго, а диаметр первого — высоте второго. При этом высоты $h_1$ и $h_2$ не обязательно равны друг другу.

Приведем контрпример, иллюстрирующий второй случай.

Пусть первый цилиндр имеет высоту $h_1 = 10$ и радиус основания $r_1 = 3$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами 10 и 6.

Пусть второй цилиндр имеет высоту $h_2 = 6$ и радиус основания $r_2 = 5$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами 6 и 10.

Очевидно, что прямоугольник со сторонами 10 и 6 равен (конгруэнтен) прямоугольнику со сторонами 6 и 10. Таким образом, осевые сечения этих двух цилиндров равны. Однако их высоты не равны: $h_1 = 10$, а $h_2 = 6$.

Поскольку мы нашли пример, когда условие задачи выполняется, а вывод — нет, то мы не можем утверждать, что из равенства осевых сечений всегда следует равенство высот.

Ответ: Нет, утверждать, что высоты этих цилиндров равны, нельзя. Высота одного цилиндра может быть равна диаметру основания другого, и наоборот.