Номер 73, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

73. Определите, какую фигуру образуют точки поверхности цилиндра, равноотстоящие от:

а) двух точек основания;

б) двух образующих.

а) Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух данных точек A и B, есть плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему. Так как точки A и B лежат в плоскости одного из оснований цилиндра, то эта плоскость-биссектор будет перпендикулярна плоскости основания, а значит, параллельна оси цилиндра. Искомая фигура является пересечением этой плоскости с поверхностью цилиндра. Пересечение плоскости, параллельной оси цилиндра, с его боковой поверхностью — это две параллельные образующие (или одна, в случае касания). Пересечение этой же плоскости с основаниями цилиндра — это две параллельные и равные между собой хорды. Вместе эти две образующие и две хорды образуют прямоугольник.
Ответ: Прямоугольник.

б) Образующие цилиндра — это параллельные прямые. Множество точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых ($g_1$ и $g_2$), — это плоскость, параллельная им и расположенная посередине между ними. Эта плоскость также будет параллельна оси цилиндра. Чтобы определить ее точное положение, рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси. В этом сечении образующие $g_1$ и $g_2$ будут представлены двумя точками на окружности основания ($P_1$ и $P_2$). Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от $P_1$ и $P_2$, — это серединный перпендикуляр к хорде $P_1P_2$. Так как любая хорда равноудалена от центра окружности, ее серединный перпендикуляр всегда проходит через центр окружности, то есть является диаметром. Следовательно, искомые точки на поверхности цилиндра лежат в плоскости, проходящей через ось цилиндра (осевой плоскости). Пересечение осевой плоскости с поверхностью цилиндра называется осевым сечением. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются две образующие и два диаметра оснований.
Ответ: Прямоугольник, который является осевым сечением цилиндра.