Номер 71, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

71. Верно ли, что:

а) высота цилиндра равна его образующей;

б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, есть круг, равный основанию;

в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию, есть прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра;

г) ось цилиндра параллельна его образующей;

д) осевое сечение цилиндра является прямоугольником, смежные стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру основания;

е) плоскость, параллельная основанию цилиндра, отсекает от него тело, которое также является цилиндром?

а) Утверждение, что высота цилиндра равна его образующей, верно только для частного случая — прямого цилиндра. У прямого цилиндра образующие перпендикулярны плоскостям оснований, и их длина совпадает с расстоянием между основаниями, то есть с высотой. Однако в общем случае существует также наклонный цилиндр, у которого образующие составляют с плоскостью основания угол $\alpha$, не равный $90^\circ$. В этом случае высота $h$ цилиндра меньше длины образующей $l$ и связана с ней соотношением $h = l \cdot \sin\alpha$. Поскольку вопрос задан в общей форме и не уточняет, что цилиндр прямой, утверждение в общем случае неверно. Ответ: Нет, неверно.

б) Цилиндр — это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями-основаниями. Любая плоскость, параллельная основаниям, пересекает цилиндр по фигуре, равной (конгруэнтной) основанию. В школьной геометрии под «цилиндром» обычно понимают круговой цилиндр, его основаниями являются круги. Следовательно, сечение будет кругом, равным основанию. Это свойство выполняется как для прямого, так и для наклонного цилиндра. Ответ: Да, верно.

в) Данное утверждение верно только для прямого цилиндра. В этом случае плоскость, перпендикулярная основанию, параллельна образующим, и в сечении получается прямоугольник, одна из сторон которого действительно равна высоте цилиндра. Однако для наклонного цилиндра образующие не перпендикулярны основанию. Сечение плоскостью, перпендикулярной основанию, в общем случае будет являться параллелограммом, а не прямоугольником. Следовательно, утверждение в общем виде неверно. Ответ: Нет, неверно.

г) Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Образующие — это отрезки, соединяющие соответственные точки окружностей оснований. По определению, все образующие цилиндра параллельны друг другу и некоторой заданной прямой. Ось цилиндра, соединяющая центры оснований, также будет параллельна этой прямой и, следовательно, всем образующим. Это справедливо как для прямого, так и для наклонного цилиндра. Ответ: Да, верно.

д) Осевое сечение — это сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямого кругового цилиндра такое сечение действительно является прямоугольником, смежные стороны которого равны высоте и диаметру основания. Но для наклонного цилиндра осевое сечение является параллелограммом, а не прямоугольником, так как его боковые стороны (образующие) не перпендикулярны основаниям (диаметрам). Так как утверждение должно быть верным для любого цилиндра, оно неверно. Ответ: Нет, неверно.

е) Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной его основаниям, то в сечении получится фигура, равная основанию. Эта фигура станет новым основанием для отсеченной части. Таким образом, отсеченное тело будет ограничено исходным основанием, новым основанием (которое ему равно и параллельно) и частью боковой поверхности исходного цилиндра. Такое тело по определению является цилиндром, но с меньшей высотой. Это верно для любого типа цилиндра. Ответ: Да, верно.