Номер 13, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Когда говорят, что цилиндр вписан в призму; призма описана около цилиндра?

13.

Выражения "цилиндр вписан в призму" и "призма описана около цилиндра" являются синонимами и описывают одно и то же взаимное расположение геометрических тел в пространстве.

Для того чтобы цилиндр можно было вписать в призму, сама призма должна обладать двумя ключевыми свойствами:
1. Призма должна быть прямой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям её оснований.
2. В многоугольник, который является основанием призмы, должна существовать возможность вписать окружность. Например, окружность можно вписать в любой треугольник, ромб, квадрат или правильный многоугольник.

Если эти условия для призмы выполнены, то цилиндр называется вписанным в призму при соблюдении следующих положений:

- Основания. Основания цилиндра (две окружности) должны быть вписаны в основания призмы (два многоугольника). Это значит, что плоскости оснований цилиндра и призмы совпадают, а каждая сторона многоугольника-основания касается окружности, являющейся основанием цилиндра.

- Боковая поверхность. Боковая поверхность цилиндра должна касаться всех боковых граней призмы. Линиями касания в этом случае будут являться образующие цилиндра.

Из этого определения вытекают следующие важные соотношения между размерами призмы и вписанного в неё цилиндра:
- Высота цилиндра ($h_{цил}$) равна высоте призмы ($h_{пр}$): $h_{цил} = h_{пр}$.
- Радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы ($r_{впис}$): $r_{цил} = r_{впис}$.
- Ось цилиндра (прямая, проходящая через центры его оснований) соединяет центры окружностей, вписанных в основания призмы.

Ответ: Говорят, что цилиндр вписан в призму (или призма описана около цилиндра), если основания цилиндра являются кругами, вписанными в основания призмы, а каждая боковая грань призмы касается боковой поверхности цилиндра. Это возможно только в том случае, если призма является прямой и в её основание можно вписать окружность.